Номер 513, страница 203 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 29. Решение квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 513, страница 203.

Условие.

513. Записать формулу корней квадратного уравнения $x^2 + 2mx + c = 0$, решить с помощью этой формулы уравнение:

1) $x^2 - 12x + 20 = 0;$

2) $x^2 + 10x + 24 = 0;$

3) $x^2 + 10x - 24 = 0;$

4) $x^2 - 50x + 49 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для вывода формулы корней квадратного уравнения вида $x^2+2mx+c=0$ воспользуемся стандартной формулой корней для уравнения $ax^2+bx+c=0$, которая имеет вид $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

В нашем случае коэффициенты равны: $a=1$, $b=2m$, $c=c$. Подставим эти значения в общую формулу:

$x = \frac{-(2m) \pm \sqrt{(2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot c}}{2 \cdot 1} = \frac{-2m \pm \sqrt{4m^2 - 4c}}{2}$

Вынесем множитель 4 из-под корня:

$x = \frac{-2m \pm \sqrt{4(m^2 - c)}}{2} = \frac{-2m \pm 2\sqrt{m^2 - c}}{2}$

Сократим числитель и знаменатель на 2 и получим искомую формулу:

$x = -m \pm \sqrt{m^2 - c}$

Теперь решим заданные уравнения с помощью этой формулы.

1) $x^2-12x+20=0$
Здесь коэффициент при $x$ равен $-12$, значит $2m = -12$, откуда $m = -6$. Свободный член $c=20$.
Подставляем значения в формулу $x = -m \pm \sqrt{m^2 - c}$:
$x = -(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 20} = 6 \pm \sqrt{36 - 20} = 6 \pm \sqrt{16} = 6 \pm 4$.
Находим корни:
$x_1 = 6 + 4 = 10$
$x_2 = 6 - 4 = 2$
Ответ: $2; 10$.

2) $x^2+10x+24=0$
Здесь $2m = 10$, откуда $m = 5$. Свободный член $c=24$.
Подставляем значения в формулу:
$x = -5 \pm \sqrt{5^2 - 24} = -5 \pm \sqrt{25 - 24} = -5 \pm \sqrt{1} = -5 \pm 1$.
Находим корни:
$x_1 = -5 + 1 = -4$
$x_2 = -5 - 1 = -6$
Ответ: $-6; -4$.

3) $x^2+10x-24=0$
Здесь $2m = 10$, откуда $m = 5$. Свободный член $c=-24$.
Подставляем значения в формулу:
$x = -5 \pm \sqrt{5^2 - (-24)} = -5 \pm \sqrt{25 + 24} = -5 \pm \sqrt{49} = -5 \pm 7$.
Находим корни:
$x_1 = -5 + 7 = 2$
$x_2 = -5 - 7 = -12$
Ответ: $-12; 2$.

4) $x^2-50x+49=0$
Здесь $2m = -50$, откуда $m = -25$. Свободный член $c=49$.
Подставляем значения в формулу:
$x = -(-25) \pm \sqrt{(-25)^2 - 49} = 25 \pm \sqrt{625 - 49} = 25 \pm \sqrt{576} = 25 \pm 24$.
Находим корни:
$x_1 = 25 + 24 = 49$
$x_2 = 25 - 24 = 1$
Ответ: $1; 49$.