Номер 507, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 29. Решение квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 507, страница 202.

Условие.

507. 1) $6x^2 = 5x + 1;$

2) $5x^2 + 1 = 6x;$

3) $x(x-1) = 72;$

4) $x(x+1) = 56;$

5) $2x(x+2) = 8x+3;$

6) $3x(x-2) - 1 = x - 0.5(8+x^2).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $6x^2 = 5x + 1$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$6x^2 - 5x - 1 = 0$

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=6, b=-5, c=-1$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{5 + 7}{12} = \frac{12}{12} = 1$
$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{5 - 7}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -\frac{1}{6}$.

2) $5x^2 + 1 = 6x$

Приведем уравнение к стандартному виду:
$5x^2 - 6x + 1 = 0$

Найдем дискриминант ($a=5, b=-6, c=1$):
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 + 4}{10} = \frac{10}{10} = 1$
$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 - 4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{1}{5}$.

3) $x(x-1) = 72$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:
$x^2 - x = 72$
$x^2 - x - 72 = 0$

Найдем дискриминант ($a=1, b=-1, c=-72$):
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 17}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Ответ: $x_1 = 9$, $x_2 = -8$.

4) $x(x+1) = 56$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:
$x^2 + x = 56$
$x^2 + x - 56 = 0$

Найдем дискриминант ($a=1, b=1, c=-56$):
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 15}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 15}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Ответ: $x_1 = 7$, $x_2 = -8$.

5) $2x(x+2) = 8x+3$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:
$2x^2 + 4x = 8x + 3$
$2x^2 + 4x - 8x - 3 = 0$
$2x^2 - 4x - 3 = 0$

Найдем дискриминант ($a=2, b=-4, c=-3$):
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 16 + 24 = 40$

Найдем корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm \sqrt{4 \cdot 10}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{4} = \frac{2(2 \pm \sqrt{10})}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{2}$

Ответ: $x = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{2}$.

6) $3x(x-2)-1 = x-0,5(8+x^2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$3x^2 - 6x - 1 = x - 4 - 0,5x^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:
$3x^2 + 0,5x^2 - 6x - x - 1 + 4 = 0$
$3,5x^2 - 7x + 3 = 0$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$7x^2 - 14x + 6 = 0$

Найдем дискриминант ($a=7, b=-14, c=6$):
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 6 = 196 - 168 = 28$

Найдем корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-(-14) \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 7} = \frac{14 \pm \sqrt{4 \cdot 7}}{14} = \frac{14 \pm 2\sqrt{7}}{14} = \frac{2(7 \pm \sqrt{7})}{14} = \frac{7 \pm \sqrt{7}}{7}$

Ответ: $x = \frac{7 \pm \sqrt{7}}{7}$.