Номер 509, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 29. Решение квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 509, страница 202.

Условие.

509. Найти все значения a, при которых уравнение $ax^2 + 3x + 2 = 0$,

где $a \ne 0$:

1) имеет два различных корня;

2) не имеет корней;

3) имеет один корень.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Данное уравнение $ax^2 + 3x + 2 = 0$ является квадратным, поскольку по условию задачи параметр $a \ne 0$. Количество действительных корней квадратного уравнения определяется знаком его дискриминанта $D$.

Формула дискриминанта для уравнения вида $Ax^2+Bx+C=0$ имеет вид $D = B^2 - 4AC$. В нашем случае коэффициенты равны: $A=a$, $B=3$, $C=2$.

Вычислим дискриминант для данного уравнения:

$D = 3^2 - 4 \cdot a \cdot 2 = 9 - 8a$.

Теперь рассмотрим каждый случай в отдельности.

1) имеет два различных корня;

Уравнение имеет два различных корня, когда дискриминант строго положителен, то есть $D > 0$.

Составим и решим неравенство:

$9 - 8a > 0$

Перенесем 9 в правую часть:

$-8a > -9$

Разделим обе части на -8, изменив знак неравенства на противоположный:

$a < \frac{9}{8}$

Также необходимо учесть исходное условие, что $a \ne 0$. Следовательно, искомые значения $a$ принадлежат объединению двух интервалов.

Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup (0; \frac{9}{8})$.

2) не имеет корней;

Уравнение не имеет действительных корней, когда дискриминант отрицателен, то есть $D < 0$.

Составим и решим неравенство:

$9 - 8a < 0$

Перенесем 9 в правую часть:

$-8a < -9$

Разделим обе части на -8, изменив знак неравенства на противоположный:

$a > \frac{9}{8}$

Ответ: $a > \frac{9}{8}$.

3) имеет один корень.

Уравнение имеет один корень (или два равных корня), когда дискриминант равен нулю, то есть $D = 0$.

Составим и решим уравнение:

$9 - 8a = 0$

Перенесем 8a в правую часть:

$9 = 8a$

Найдем $a$:

$a = \frac{9}{8}$

Ответ: $a = \frac{9}{8}$.