Номер 515, страница 203 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 29. Решение квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 515, страница 203.

Условие.

515. Доказать, что уравнение $x^2 + px - 1 = 0$ при любом $p$ имеет два различных корня.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы квадратное уравнение имело два различных корня, его дискриминант должен быть строго больше нуля ($D > 0$).

Рассмотрим данное квадратное уравнение $x^2 + px - 1 = 0$.

Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны:

• $a = 1$
• $b = p$
• $c = -1$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = p^2 + 4$

Теперь нам нужно доказать, что выражение $p^2 + 4$ всегда больше нуля при любом значении параметра $p$.

Выражение $p^2$, как квадрат любого действительного числа, всегда неотрицательно, то есть $p^2 \ge 0$.

Если к неотрицательному числу ($p^2$) прибавить положительное число (4), то результат всегда будет строго положительным. Минимальное значение выражения $p^2$ равно 0 (при $p=0$). В этом случае дискриминант $D = 0 + 4 = 4$. Во всех остальных случаях, когда $p \ne 0$, $p^2 > 0$, и, следовательно, $D > 4$.

Таким образом, $D = p^2 + 4 \ge 4$ при любом значении $p$.

Поскольку дискриминант $D$ всегда строго больше нуля, уравнение $x^2 + px - 1 = 0$ при любом $p$ имеет два различных действительных корня.

Ответ: Утверждение доказано, так как дискриминант уравнения $D = p^2 + 4$ всегда положителен.