Номер 5, страница 209 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 30. Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 5, страница 209.

Условие.

5. Сформулировать теорему Виета для случая $x_1 = x_2$.

Решение 4.

Теорема Виета для общего квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a \neq 0$) с корнями $x_1$ и $x_2$ устанавливает следующие соотношения между корнями и коэффициентами:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Случай, когда $x_1 = x_2$, означает, что уравнение имеет единственный корень (его также называют корнем кратности 2). Обозначим этот корень через $x_0$. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда дискриминант уравнения равен нулю: $D = b^2 - 4ac = 0$.

Для того чтобы сформулировать теорему Виета для этого частного случая, подставим $x_1 = x_0$ и $x_2 = x_0$ в стандартные формулы Виета:

1. Для суммы корней: $x_0 + x_0 = -\frac{b}{a}$, что упрощается до $2x_0 = -\frac{b}{a}$.

2. Для произведения корней: $x_0 \cdot x_0 = \frac{c}{a}$, что упрощается до $x_0^2 = \frac{c}{a}$.

Эти два полученных равенства и являются искомой формулировкой теоремы Виета для случая совпадающих корней.

Ответ:

Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, которое имеет один корень $x_0$ кратности 2 (то есть $x_1 = x_2 = x_0$), теорема Виета формулируется следующим образом: удвоенное значение этого корня равно отношению второго коэффициента ($b$) к первому ($a$), взятому с противоположным знаком, а квадрат корня равен отношению свободного члена ($c$) к первому коэффициенту.

Математически это выражается системой уравнений:

$2x_0 = -\frac{b}{a}$

$x_0^2 = \frac{c}{a}$