Номер 9, страница 209 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 30. Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 9, страница 209.

Условие.

9. Разложить на множители квадратный трёхчлен $ky^2 + ly + m$, если $y_1$ и $y_2$ — корни уравнения $ky^2 + ly + m = 0$.

Решение 4.

Для разложения квадратного трёхчлена на множители используется общая формула, основанная на его корнях. Если $x_1$ и $x_2$ являются корнями квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, то соответствующий квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ можно представить в виде произведения:

$$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$

В данной задаче нам нужно разложить на множители квадратный трёхчлен $ky^2 + ly + m$.

Здесь:

• старший коэффициент (аналог $a$) равен $k$;
• переменная (аналог $x$) — это $y$.

По условию, $y_1$ и $y_2$ — это корни уравнения $ky^2 + ly + m = 0$.

Применим общую формулу разложения к нашему трёхчлену. Подставим вместо $a$ коэффициент $k$, вместо переменной $x$ — переменную $y$, а в качестве корней используем данные $y_1$ и $y_2$.

Получаем следующее разложение:

$$ky^2 + ly + m = k(y - y_1)(y - y_2)$$

Это и есть искомое разложение на множители.

Можно проверить справедливость этого равенства. Раскроем скобки в правой части:

$$k(y - y_1)(y - y_2) = k(y^2 - y_2y - y_1y + y_1y_2) = k(y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1y_2)$$

По теореме Виета для уравнения $ky^2 + ly + m = 0$ (или $y^2 + \frac{l}{k}y + \frac{m}{k} = 0$), сумма и произведение корней равны:

• $y_1 + y_2 = -\frac{l}{k}$
• $y_1y_2 = \frac{m}{k}$

Подставим эти выражения в раскрытое равенство:

$$k(y^2 - (-\frac{l}{k})y + \frac{m}{k}) = k(y^2 + \frac{l}{k}y + \frac{m}{k})$$

Теперь умножим каждый член в скобках на $k$:

$$k \cdot y^2 + k \cdot \frac{l}{k}y + k \cdot \frac{m}{k} = ky^2 + ly + m$$

Мы получили исходный трёхчлен, что подтверждает правильность разложения.

Ответ: $ky^2 + ly + m = k(y - y_1)(y - y_2)$.