Номер 6, страница 209 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 30. Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 6, страница 209.

Условие.

6. Сформулировать теорему, обратную теореме Виета.

Решение 4.

Теорема, обратная теореме Виета, устанавливает условия, при которых два заданных числа являются корнями некоторого квадратного уравнения. Её основной смысл заключается в том, что если для чисел $x_1$ и $x_2$ выполняются соотношения, аналогичные формулам Виета, то эти числа и будут корнями соответствующего квадратного уравнения.

Формулировка для приведённого квадратного уравнения

Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что их сумма равна $-p$, а их произведение равно $q$, то есть выполняются равенства:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Формулировка для полного квадратного уравнения

Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что их сумма равна $-\frac{b}{a}$, а их произведение равно $\frac{c}{a}$, то есть выполняются равенства:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

то эти числа являются корнями полного квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ (при $a \ne 0$).

Доказательство теоремы (для приведённого случая)

Нам нужно доказать, что если $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$, то $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Подставим в уравнение $x^2 + px + q = 0$ вместо коэффициентов $p$ и $q$ их выражения через $x_1$ и $x_2$. Из условий теоремы имеем $p = -(x_1 + x_2)$ и $q = x_1 x_2$.

Получаем уравнение:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2 = 0$

Теперь проверим, являются ли числа $x_1$ и $x_2$ корнями этого уравнения. Для этого подставим их поочерёдно вместо $x$.

1. Проверка для $x = x_1$:

$x_1^2 - (x_1 + x_2)x_1 + x_1 x_2 = x_1^2 - x_1^2 - x_2 x_1 + x_1 x_2 = 0$

Получено тождество $0 = 0$, значит, $x_1$ является корнем уравнения.

2. Проверка для $x = x_2$:

$x_2^2 - (x_1 + x_2)x_2 + x_1 x_2 = x_2^2 - x_1 x_2 - x_2^2 + x_1 x_2 = 0$

Получено тождество $0 = 0$, значит, $x_2$ также является корнем уравнения.

Доказательство завершено.

Практическое применение теоремы

Теорема, обратная теореме Виета, широко используется для двух основных задач:

Подбор корней. Особенно удобно для приведённых квадратных уравнений с целыми коэффициентами. Например, для уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ ищутся два числа, сумма которых равна 5, а произведение — 6. Методом подбора легко находятся числа 2 и 3, которые и являются корнями.

Составление квадратного уравнения по известным корням. Например, если корни равны -1 и 4, то можно составить для них уравнение. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -1 + 4 = 3$. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = (-1) \cdot 4 = -4$. По теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения $x^2 - (x_1+x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0$, то есть $x^2 - 3x - 4 = 0$.

Ответ: Если числа $m$ и $n$ таковы, что их сумма $m+n$ равна $-p$, а их произведение $m \cdot n$ равно $q$, то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.