Номер 516, страница 203 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 29. Решение квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 516, страница 203.

Условие.

516. Доказать, что уравнение $ax^2+bx-a=0$ при $a \neq 0$ и любом $b$ имеет два различных корня.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы доказать, что квадратное уравнение имеет два различных корня, необходимо и достаточно доказать, что его дискриминант (D) строго больше нуля ($D > 0$).

Дано уравнение: $ax^2 + bx - a = 0$.

По условию задачи, $a \ne 0$, следовательно, это уравнение является квадратным. Коэффициенты этого уравнения:

• старший коэффициент: $a$
• коэффициент при x: $b$
• свободный член: $-a$

Найдем дискриминант $D$ по стандартной формуле $D = B^2 - 4AC$:

$D = b^2 - 4 \cdot a \cdot (-a)$

Упростим выражение:

$D = b^2 + 4a^2$

Теперь проанализируем знак полученного выражения для дискриминанта, учитывая условия, наложенные на переменные $a$ и $b$:

1. По условию $a \ne 0$. Квадрат любого ненулевого числа является строго положительным числом, поэтому $a^2 > 0$. Соответственно, $4a^2$ также будет строго положительным числом: $4a^2 > 0$.
2. По условию $b$ – любое действительное число. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $b^2 \ge 0$.

Дискриминант $D$ является суммой неотрицательного числа ($b^2$) и строго положительного числа ($4a^2$). Сумма неотрицательного и строго положительного чисел всегда строго положительна.

Следовательно, $D = b^2 + 4a^2 > 0$ при любых $a \ne 0$ и $b$.

Поскольку дискриминант уравнения всегда строго больше нуля, данное уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Ответ: Дискриминант уравнения равен $D = b^2 + 4a^2$. Так как по условию $a \ne 0$ и $b$ - любое число, то $4a^2 > 0$ и $b^2 \ge 0$. Отсюда следует, что $D > 0$ при любых заданных условиях, а значит, уравнение всегда имеет два различных корня. Доказано.