Номер 503, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 29. Решение квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 503, страница 202.

Условие.

Решить квадратное уравнение (503—504).

503.

1) $9x^2 - 6x + 1 = 0$;

2) $16x^2 - 8x + 1 = 0$;

3) $49x^2 + 28x + 4 = 0$;

4) $36x^2 + 12x + 1 = 0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $9x^2 - 6x + 1 = 0$

Для решения данного квадратного уравнения можно заметить, что его левая часть является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a^2 = 9x^2 = (3x)^2$, $b^2 = 1^2$, а $2ab = 2 \cdot 3x \cdot 1 = 6x$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = 0$

Свернем левую часть по формуле:

$(3x - 1)^2 = 0$

Квадрат выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само выражение равно нулю:

$3x - 1 = 0$

Решим полученное линейное уравнение:

$3x = 1$

$x = \frac{1}{3}$

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

2) $16x^2 - 8x + 1 = 0$

Левая часть этого уравнения также является полным квадратом разности. Здесь $a^2 = 16x^2 = (4x)^2$, $b^2 = 1^2$, и $2ab = 2 \cdot 4x \cdot 1 = 8x$.

Перепишем уравнение, используя формулу $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$(4x - 1)^2 = 0$

Приравниваем основание степени к нулю:

$4x - 1 = 0$

Находим $x$:

$4x = 1$

$x = \frac{1}{4}$

Ответ: $x = \frac{1}{4}$.

3) $49x^2 + 28x + 4 = 0$

В этом случае левая часть уравнения представляет собой полный квадрат суммы. Воспользуемся формулой: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь $a^2 = 49x^2 = (7x)^2$, $b^2 = 4 = 2^2$, и $2ab = 2 \cdot 7x \cdot 2 = 28x$.

Свернем левую часть уравнения по формуле:

$(7x + 2)^2 = 0$

Приравниваем основание степени к нулю:

$7x + 2 = 0$

Решаем полученное линейное уравнение:

$7x = -2$

$x = -\frac{2}{7}$

Ответ: $x = -\frac{2}{7}$.

4) $36x^2 + 12x + 1 = 0$

Левая часть этого уравнения является полным квадратом суммы. Здесь $a^2 = 36x^2 = (6x)^2$, $b^2 = 1^2$, и $2ab = 2 \cdot 6x \cdot 1 = 12x$.

Используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, перепишем уравнение:

$(6x + 1)^2 = 0$

Отсюда следует, что выражение в скобках равно нулю:

$6x + 1 = 0$

Находим $x$:

$6x = -1$

$x = -\frac{1}{6}$

Ответ: $x = -\frac{1}{6}$.