Номер 519, страница 210 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 30. Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 519, страница 210.

Условие.

519. (Устно.) Один из корней уравнения $x^2 - 19x + 18 = 0$ равен 1.

Найти его второй корень.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для нахождения второго корня квадратного уравнения $x^2 - 19x + 18 = 0$, зная, что один из корней равен 1, можно воспользоваться теоремой Виета или свойством коэффициентов квадратного уравнения.

Способ 1: Использование теоремы Виета

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями $x_1$ и $x_2$ и коэффициентами:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 - 19x + 18 = 0$ коэффициенты равны $p = -19$ и $q = 18$.

Воспользуемся формулой для произведения корней. Обозначим известный корень как $x_1 = 1$, а неизвестный — как $x_2$.
$x_1 \cdot x_2 = 18$

Подставим известное значение $x_1 = 1$ в это равенство:
$1 \cdot x_2 = 18$

Отсюда находим второй корень:
$x_2 = 18$

Для проверки можно использовать формулу для суммы корней:
$x_1 + x_2 = -p = -(-19) = 19$.
Подставив найденные корни $1 + 18 = 19$, мы получаем верное равенство $19 = 19$, что подтверждает правильность решения.

Способ 2: Использование свойства коэффициентов

Этот способ особенно удобен для устного решения, на что указывает пометка "(Устно)" в условии. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ существует свойство: если сумма его коэффициентов равна нулю ($a + b + c = 0$), то один из корней уравнения равен 1, а второй равен $c/a$.

Проверим это свойство для нашего уравнения $x^2 - 19x + 18 = 0$.
Коэффициенты здесь: $a = 1$, $b = -19$, $c = 18$.

Найдем сумму коэффициентов:
$a + b + c = 1 + (-19) + 18 = 1 - 19 + 18 = 0$.

Поскольку сумма коэффициентов равна нулю, то один из корней действительно равен 1 (что соответствует условию задачи), а второй корень можно найти по формуле:
$x_2 = c/a = 18/1 = 18$.

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: 18