Номер 525, страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 30. Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 525, страница 211.

Условие.

525. Сократить дробь:

1) $ \frac{x^2 + x - 2}{x - 1} $;

2) $ \frac{x^2 + 4x - 12}{x - 2} $;

3) $ \frac{x + 3}{x^2 - 6x - 27} $;

4) $ \frac{x - 8}{x^2 - x - 56} $;

5) $ \frac{2x^2 - 3x - 2}{4x^2 - 1} $;

6) $ \frac{3x^2 + 8x - 3}{9x^2 - 1} $.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы сократить дробь $ \frac{x^2 + x - 2}{x - 1} $, необходимо разложить числитель на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения $ x^2 + x - 2 = 0 $.
Используем теорему Виета:

• Сумма корней: $ x_1 + x_2 = -1 $
• Произведение корней: $ x_1 \cdot x_2 = -2 $

Подбором находим корни: $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = -2 $.
Формула разложения квадратного трехчлена на множители: $ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) $.
В нашем случае $ a=1 $, поэтому $ x^2 + x - 2 = (x - 1)(x - (-2)) = (x - 1)(x + 2) $.
Теперь подставим разложение в исходную дробь:
$ \frac{(x - 1)(x + 2)}{x - 1} $
Сокращаем общий множитель $ (x - 1) $ (при условии, что $ x - 1 \neq 0 $, то есть $ x \neq 1 $):
$ x + 2 $
Ответ: $ x + 2 $

2) Сократим дробь $ \frac{x^2 + 4x - 12}{x - 2} $. Разложим числитель $ x^2 + 4x - 12 $ на множители, решив уравнение $ x^2 + 4x - 12 = 0 $.
По теореме Виета:

• $ x_1 + x_2 = -4 $
• $ x_1 \cdot x_2 = -12 $

Корни уравнения: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = -6 $.
Разложение на множители: $ x^2 + 4x - 12 = (x - 2)(x - (-6)) = (x - 2)(x + 6) $.
Подставим в дробь:
$ \frac{(x - 2)(x + 6)}{x - 2} $
Сократим на $ (x - 2) $ (при $ x \neq 2 $):
$ x + 6 $
Ответ: $ x + 6 $

3) Сократим дробь $ \frac{x + 3}{x^2 - 6x - 27} $. Разложим на множители знаменатель $ x^2 - 6x - 27 $.
Решим уравнение $ x^2 - 6x - 27 = 0 $ с помощью дискриминанта.
$ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 = 12^2 $.
Корни: $ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 12}{2} = 9 $; $ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 12}{2} = -3 $.
Разложение знаменателя: $ x^2 - 6x - 27 = (x - 9)(x - (-3)) = (x - 9)(x + 3) $.
Подставим в дробь:
$ \frac{x + 3}{(x - 9)(x + 3)} $
Сократим на $ (x + 3) $ (при $ x \neq -3 $):
$ \frac{1}{x - 9} $
Ответ: $ \frac{1}{x - 9} $

4) Сократим дробь $ \frac{x - 8}{x^2 - x - 56} $. Разложим знаменатель $ x^2 - x - 56 $ на множители.
Решим уравнение $ x^2 - x - 56 = 0 $.
По теореме Виета:

• $ x_1 + x_2 = 1 $
• $ x_1 \cdot x_2 = -56 $

Корни уравнения: $ x_1 = 8 $ и $ x_2 = -7 $.
Разложение знаменателя: $ x^2 - x - 56 = (x - 8)(x - (-7)) = (x - 8)(x + 7) $.
Подставим в дробь:
$ \frac{x - 8}{(x - 8)(x + 7)} $
Сократим на $ (x - 8) $ (при $ x \neq 8 $):
$ \frac{1}{x + 7} $
Ответ: $ \frac{1}{x + 7} $

5) Сократим дробь $ \frac{2x^2 - 3x - 2}{4x^2 - 1} $. Разложим на множители числитель и знаменатель.
Для числителя решим уравнение $ 2x^2 - 3x - 2 = 0 $.
$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2 $.
Корни: $ x_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2 $; $ x_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2} $.
Разложение числителя: $ 2x^2 - 3x - 2 = 2(x - 2)(x + \frac{1}{2}) = (x - 2)(2x + 1) $.
Знаменатель $ 4x^2 - 1 $ является разностью квадратов $ (2x)^2 - 1^2 $.
Разложение знаменателя: $ (2x - 1)(2x + 1) $.
Подставим разложения в дробь:
$ \frac{(x - 2)(2x + 1)}{(2x - 1)(2x + 1)} $
Сократим на $ (2x + 1) $ (при $ x \neq -\frac{1}{2} $):
$ \frac{x - 2}{2x - 1} $
Ответ: $ \frac{x - 2}{2x - 1} $

6) Сократим дробь $ \frac{3x^2 + 8x - 3}{9x^2 - 1} $. Разложим числитель и знаменатель на множители.
Для числителя решим уравнение $ 3x^2 + 8x - 3 = 0 $.
$ D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2 $.
Корни: $ x_1 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $; $ x_2 = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3 $.
Разложение числителя: $ 3x^2 + 8x - 3 = 3(x - \frac{1}{3})(x + 3) = (3x - 1)(x + 3) $.
Знаменатель $ 9x^2 - 1 $ является разностью квадратов $ (3x)^2 - 1^2 $.
Разложение знаменателя: $ (3x - 1)(3x + 1) $.
Подставим разложения в дробь:
$ \frac{(3x - 1)(x + 3)}{(3x - 1)(3x + 1)} $
Сократим на $ (3x - 1) $ (при $ x \neq \frac{1}{3} $):
$ \frac{x + 3}{3x + 1} $
Ответ: $ \frac{x + 3}{3x + 1} $