Номер 531, страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 30. Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 531, страница 211.

Условие.

531. Корни $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $x^2 + 6x + q = 0$ удовлетворяют условию $x_2 = 2x_1$. Найти $q, x_1, x_2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$. Согласно этой теореме, сумма корней уравнения $x_1$ и $x_2$ равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Для нашего уравнения $x^2 + 6x + q = 0$:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -6$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В условии задачи также дано соотношение между корнями: $x_2 = 2x_1$.

Теперь у нас есть система из трех уравнений:
1) $x_1 + x_2 = -6$
2) $x_1 \cdot x_2 = q$
3) $x_2 = 2x_1$

Подставим выражение для $x_2$ из третьего уравнения в первое:
$x_1 + (2x_1) = -6$
$3x_1 = -6$
$x_1 = \frac{-6}{3}$
$x_1 = -2$

Теперь, зная значение $x_1$, найдем $x_2$ из третьего уравнения:
$x_2 = 2 \cdot x_1 = 2 \cdot (-2)$
$x_2 = -4$

Осталось найти $q$. Для этого подставим найденные значения $x_1$ и $x_2$ во второе уравнение системы:
$q = x_1 \cdot x_2 = (-2) \cdot (-4)$
$q = 8$

Проверка: подставим найденные значения в исходное уравнение. Получим $x^2 + 6x + 8 = 0$. Его корни $x = -2$ и $x = -4$. Сумма корней $-2 + (-4) = -6$. Произведение корней $(-2) \cdot (-4) = 8$. Условие $x_2=2x_1$ выполняется: $-4 = 2 \cdot (-2)$. Все верно.

Ответ: $q = 8$, $x_1 = -2$, $x_2 = -4$.