Номер 532, страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 30. Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 532, страница 211.

Условие.

532. Корни $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $x^2 + px + 3 = 0$ удовлетворяют условию $x_2 = 3x_1$. Найти $p, x_1, x_2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$. Согласно этой теореме, сумма и произведение корней ($x_1$ и $x_2$) связаны с коэффициентами уравнения следующими формулами:

$x_1 + x_2 = -b$

$x_1 \cdot x_2 = c$

Для данного в условии уравнения $x^2 + px + 3 = 0$ имеем $b=p$ и $c=3$. Таким образом, получаем систему уравнений:

1) $x_1 + x_2 = -p$

2) $x_1 \cdot x_2 = 3$

Из условия задачи нам также известно, что корни связаны соотношением:

3) $x_2 = 3x_1$

Подставим выражение для $x_2$ из уравнения (3) в уравнение (2):

$x_1 \cdot (3x_1) = 3$

$3x_1^2 = 3$

$x_1^2 = 1$

Это уравнение имеет два решения: $x_1 = 1$ и $x_1 = -1$. Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно.

Случай 1: $x_1 = 1$

Используя уравнение (3), находим второй корень $x_2$:

$x_2 = 3x_1 = 3 \cdot 1 = 3$

Теперь, используя уравнение (1), находим коэффициент $p$:

$p = -(x_1 + x_2) = -(1 + 3) = -4$

В этом случае мы получили первый набор значений: $p = -4$, $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Случай 2: $x_1 = -1$

Аналогично находим второй корень $x_2$:

$x_2 = 3x_1 = 3 \cdot (-1) = -3$

И находим коэффициент $p$:

$p = -(x_1 + x_2) = -(-1 - 3) = -(-4) = 4$

В этом случае мы получили второй набор значений: $p = 4$, $x_1 = -1$, $x_2 = -3$.

Оба полученных набора значений удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: Задача имеет два решения: 1) $p=-4, x_1=1, x_2=3$; 2) $p=4, x_1=-1, x_2=-3$.