Номер 526, страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 30. Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 526, страница 211.

Условие.

526. Решить приведённое квадратное уравнение:

1) $x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0;$

2) $x^2 - 2\sqrt{5}x + 1 = 0;$

3) $x^2 + \sqrt{2}x - 4 = 0;$

4) $x^2 - 4\sqrt{7}x + 4 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0$

Это приведённое квадратное уравнение вида $x^2+px+q=0$. Для его решения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения. Поскольку второй коэффициент $b = -2\sqrt{3}$ является чётным, удобно применить формулу для чётного второго коэффициента: $x_{1,2} = -k \pm \sqrt{k^2 - c}$, где $k = \frac{b}{2}$.

В данном уравнении коэффициенты: $a=1$, $b=-2\sqrt{3}$, $c=-1$.

Найдём половину второго коэффициента:

$k = \frac{-2\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}$

Теперь вычислим дискриминант (деленный на 4), $D_1 = k^2 - c$:

$D_1 = (-\sqrt{3})^2 - (-1) = 3 + 1 = 4$

Найдём корни уравнения:

$x_{1,2} = -(-\sqrt{3}) \pm \sqrt{4} = \sqrt{3} \pm 2$

Ответ: $x_1 = \sqrt{3} + 2$, $x_2 = \sqrt{3} - 2$.

2) $x^2 - 2\sqrt{5}x + 1 = 0$

Это приведённое квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом $b = -2\sqrt{5}$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-2\sqrt{5}$, $c=1$.

Найдём $k = \frac{b}{2}$:

$k = \frac{-2\sqrt{5}}{2} = -\sqrt{5}$

Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - c$:

$D_1 = (-\sqrt{5})^2 - 1 = 5 - 1 = 4$

Найдём корни по формуле $x_{1,2} = -k \pm \sqrt{D_1}$:

$x_{1,2} = -(-\sqrt{5}) \pm \sqrt{4} = \sqrt{5} \pm 2$

Ответ: $x_1 = \sqrt{5} + 2$, $x_2 = \sqrt{5} - 2$.

3) $x^2 + \sqrt{2}x - 4 = 0$

Это приведённое квадратное уравнение. Для его решения воспользуемся стандартной формулой корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=\sqrt{2}$, $c=-4$.

Вычислим дискриминант:

$D = (\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 2 + 16 = 18$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдём их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{18}}{2} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{9 \cdot 2}}{2} = \frac{-\sqrt{2} \pm 3\sqrt{2}}{2}$

Вычислим каждый корень:

$x_1 = \frac{-\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

$x_2 = \frac{-\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{2} = \frac{-4\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2}$

Ответ: $x_1 = \sqrt{2}$, $x_2 = -2\sqrt{2}$.

4) $x^2 - 4\sqrt{7}x + 4 = 0$

Данное уравнение также является приведённым квадратным с чётным вторым коэффициентом $b = -4\sqrt{7}$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-4\sqrt{7}$, $c=4$.

Найдём $k = \frac{b}{2}$:

$k = \frac{-4\sqrt{7}}{2} = -2\sqrt{7}$

Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - c$:

$D_1 = (-2\sqrt{7})^2 - 4 = (4 \cdot 7) - 4 = 28 - 4 = 24$

Найдём корни по формуле $x_{1,2} = -k \pm \sqrt{D_1}$:

$x_{1,2} = -(-2\sqrt{7}) \pm \sqrt{24} = 2\sqrt{7} \pm \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{7} \pm 2\sqrt{6}$

Ответ: $x_1 = 2\sqrt{7} + 2\sqrt{6}$, $x_2 = 2\sqrt{7} - 2\sqrt{6}$.