Номер 533, страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 30. Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 533, страница 211.

Условие.

533. Не вычисляя корней $x_1$ и $x_2$ уравнения $3x^2 - 8x - 15 = 0$, найти:

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$;

2) $x_1^2 + x_2^2$;

3) $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$;

4) $x_1^3 + x_2^3$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи, не вычисляя корней уравнения, воспользуемся теоремой Виета. Для заданного квадратного уравнения $3x^2 - 8x - 15 = 0$ с коэффициентами $a=3$, $b=-8$, $c=-15$ и корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} = - \frac{-8}{3} = \frac{8}{3}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-15}{3} = -5$

Используем эти два основных значения для нахождения требуемых выражений.

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$
Чтобы найти сумму этих дробей, приведем их к общему знаменателю $x_1 x_2$:
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2}{x_1 x_2} + \frac{x_1}{x_1 x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$.
Теперь подставим известные нам значения суммы и произведения корней:
$\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{8/3}{-5} = \frac{8}{3 \cdot (-5)} = -\frac{8}{15}$.
Ответ: $-\frac{8}{15}$.

2) $x_1^2 + x_2^2$
Это выражение можно преобразовать, выделив полный квадрат суммы $(x_1 + x_2)^2$. Формула квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2$. Отсюда выразим сумму квадратов:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$.
Подставим значения суммы и произведения корней:
$(\frac{8}{3})^2 - 2(-5) = \frac{64}{9} + 10 = \frac{64}{9} + \frac{90}{9} = \frac{154}{9}$.
В виде смешанной дроби это $17\frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{154}{9}$.

3) $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$
Приведем дроби к общему знаменателю $x_1 x_2$:
$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2}$.
Значение числителя ($x_1^2 + x_2^2$) мы уже вычислили в пункте 2, оно равно $\frac{154}{9}$. Значение знаменателя ($x_1 x_2$) равно $-5$.
Подставим эти значения:
$\frac{154/9}{-5} = \frac{154}{9 \cdot (-5)} = -\frac{154}{45}$.
В виде смешанной дроби это $-3\frac{19}{45}$.
Ответ: $-\frac{154}{45}$.

4) $x_1^3 + x_2^3$
Для нахождения суммы кубов можно использовать одну из двух формул.
Первый способ, используя формулу суммы кубов: $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2)$.
Подставим ранее найденные значения $x_1+x_2 = \frac{8}{3}$, $x_1^2+x_2^2 = \frac{154}{9}$ и $x_1 x_2 = -5$:
$\frac{8}{3} \cdot (\frac{154}{9} - (-5)) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{154}{9} + 5) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{154 + 45}{9}) = \frac{8}{3} \cdot \frac{199}{9} = \frac{1592}{27}$.
Второй способ, используя тождество: $x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1+x_2)$.
Подставим значения $x_1+x_2 = \frac{8}{3}$ и $x_1 x_2 = -5$:
$(\frac{8}{3})^3 - 3(-5)(\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + 15 \cdot \frac{8}{3} = \frac{512}{27} + 40 = \frac{512 + 40 \cdot 27}{27} = \frac{512 + 1080}{27} = \frac{1592}{27}$.
Оба способа дают одинаковый результат. В виде смешанной дроби это $58\frac{26}{27}$.
Ответ: $\frac{1592}{27}$.