Номер 4, страница 216 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 31. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 4, страница 216.

Условие.

4. Какое выражение является общим знаменателем дробей:

1) $\frac{1}{x-5}$ и $\frac{2}{x+6}$;

2) $\frac{1}{x-4}$ и $\frac{1}{x^2-16}$?

Решение 4.

1) Для дробей $\frac{1}{x-5}$ и $\frac{2}{x+6}$.

Общий знаменатель алгебраических дробей — это наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей. Знаменатели данных дробей: $x-5$ и $x+6$.

Чтобы найти НОК, необходимо разложить каждый знаменатель на множители. Выражения $x-5$ и $x+6$ являются простыми многочленами и не имеют общих множителей.

В этом случае их наименьшее общее кратное равно их произведению.

Общий знаменатель: $(x-5)(x+6)$.

Это выражение можно также представить в виде многочлена, раскрыв скобки: $(x-5)(x+6) = x^2 + 6x - 5x - 30 = x^2 + x - 30$.

Ответ: $(x-5)(x+6)$ или $x^2 + x - 30$.

2) Для дробей $\frac{1}{x-4}$ и $\frac{1}{x^2-16}$.

Знаменатели данных дробей: $x-4$ и $x^2-16$.

Для нахождения общего знаменателя разложим каждый из них на множители.

Первый знаменатель, $x-4$, является простым выражением.

Второй знаменатель, $x^2-16$, можно разложить по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$x^2-16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4)$.

Таким образом, мы ищем НОК для выражений $x-4$ и $(x-4)(x+4)$.

Общий знаменатель должен содержать все множители, входящие в разложения каждого из знаменателей. В данном случае это множители $(x-4)$ и $(x+4)$.

Следовательно, общий знаменатель равен $(x-4)(x+4)$, что совпадает со вторым знаменателем, $x^2-16$.

Ответ: $x^2-16$.