Номер 3, страница 216 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 31. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 3, страница 216.

Условие.

3. Сколько действительных корней может иметь биквадратное уравнение?

Решение 4.

Биквадратное уравнение — это уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a \neq 0$. Для его решения используется метод замены переменной. Пусть $y = x^2$. Поскольку квадрат действительного числа не может быть отрицательным, то $y \ge 0$. После замены исходное уравнение превращается во вспомогательное квадратное уравнение относительно переменной $y$: $ay^2 + by + c = 0$.

Количество действительных корней биквадратного уравнения напрямую зависит от корней $y_1$ и $y_2$ этого вспомогательного уравнения. Каждый положительный корень $y_k > 0$ даст два действительных корня для $x$, а именно $x = \pm\sqrt{y_k}$. Если корень $y_k = 0$, он даст один действительный корень $x=0$. Отрицательные корни $y_k < 0$ не дадут действительных корней для $x$, так как уравнение $x^2 = y_k$ не имеет решений в действительных числах.

Рассмотрим все возможные случаи.

Четыре действительных корня

Это возможно, если вспомогательное квадратное уравнение имеет два различных положительных корня ($y_1 > 0$ и $y_2 > 0$). В этом случае каждое из уравнений $x^2 = y_1$ и $x^2 = y_2$ дает по два действительных корня. Всего получается четыре различных действительных корня.

Пример: $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$. Замена $y=x^2$ приводит к уравнению $y^2 - 5y + 4 = 0$, корни которого $y_1=1$ и $y_2=4$. Оба корня положительны. Из $x^2=1$ получаем $x = \pm 1$. Из $x^2=4$ получаем $x = \pm 2$. Уравнение имеет четыре действительных корня: $-2, -1, 1, 2$.

Три действительных корня

Это возможно, если вспомогательное уравнение имеет один положительный корень и один корень, равный нулю ($y_1 > 0$, $y_2 = 0$). Уравнение $x^2 = y_1$ дает два действительных корня, а уравнение $x^2 = 0$ дает один корень $x=0$. Всего получается три различных действительных корня.

Пример: $x^4 - 9x^2 = 0$. Замена $y=x^2$ приводит к уравнению $y^2 - 9y = 0$, корни которого $y_1=9$ и $y_2=0$. Из $x^2=9$ получаем $x = \pm 3$. Из $x^2=0$ получаем $x = 0$. Уравнение имеет три действительных корня: $-3, 0, 3$.

Два действительных корня

Этот случай возможен, если вспомогательное уравнение имеет ровно один положительный корень, а других неотрицательных корней нет. Это происходит в двух ситуациях:

1. Вспомогательное уравнение имеет один кратный положительный корень ($y_1=y_2 > 0$). Тогда уравнение $x^2 = y_1$ дает два действительных корня.

Пример: $x^4 - 6x^2 + 9 = 0$. Вспомогательное уравнение $(y-3)^2=0$ имеет один корень $y=3$. Отсюда $x^2=3$ и $x = \pm\sqrt{3}$.

2. Вспомогательное уравнение имеет один положительный и один отрицательный корень ($y_1 > 0, y_2 < 0$). Только положительный корень даст действительные корни для $x$.

Пример: $x^4 - 2x^2 - 8 = 0$. Вспомогательное уравнение $y^2 - 2y - 8 = 0$ имеет корни $y_1=4$ и $y_2=-2$. Только из $x^2=4$ получаем действительные корни $x = \pm 2$.

Один действительный корень

Это возможно, если вспомогательное уравнение имеет единственный неотрицательный корень, и этот корень — ноль ($y_1=0$). Другие корни (если они есть) должны быть отрицательными. Тогда уравнение $x^2=0$ дает единственный корень $x=0$.

Пример: $x^4 + 4x^2 = 0$. Вспомогательное уравнение $y^2+4y=0$ имеет корни $y_1=0$ и $y_2=-4$. Только $x^2=0$ дает действительный корень $x=0$. Также сюда относится случай $ax^4=0$, где $x=0$ — единственный корень.

Ноль действительных корней

Это возможно, если вспомогательное уравнение не имеет положительных или нулевых корней. То есть все его действительные корни (если они есть) — отрицательные, либо у него вовсе нет действительных корней.

Пример 1 (отрицательные корни): $x^4 + 5x^2 + 6 = 0$. Вспомогательное уравнение $y^2 + 5y + 6 = 0$ имеет корни $y_1=-2$ и $y_2=-3$. Оба отрицательные, поэтому действительных корней для $x$ нет.

Пример 2 (нет действительных корней): $x^4 + x^2 + 1 = 0$. Дискриминант вспомогательного уравнения $y^2 + y + 1 = 0$ равен $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$. Уравнение для $y$ не имеет действительных корней, следовательно, и исходное уравнение их не имеет.

Таким образом, проанализировав все возможные варианты, мы видим, что биквадратное уравнение может иметь ноль, один, два, три или четыре действительных корня.

Ответ: 0, 1, 2, 3 или 4.