Номер 5, страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 31. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 5, страница 217.

Условие.

5. Убедившись в том, что $x=-1$ является корнем уравнения, найти второй его корень:

1) $x^2+7x+6=0$;

2) $x^2-8x-9=0$.

Решение 4.

1) $x^2+7x+6=0$;

Сначала убедимся, что $x=-1$ является корнем уравнения. Для этого подставим данное значение в уравнение:$(-1)^2 + 7 \cdot (-1) + 6 = 1 - 7 + 6 = 0$.Поскольку мы получили верное равенство $0=0$, значение $x_1=-1$ действительно является корнем уравнения.

Для нахождения второго корня $x_2$ воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2+px+q=0$ произведение корней равно свободному члену $q$, а их сумма равна коэффициенту $p$, взятому с противоположным знаком.

В нашем уравнении коэффициенты равны $p=7$ и $q=6$.Используем формулу для произведения корней:$x_1 \cdot x_2 = q$.Подставим известный корень $x_1=-1$:$(-1) \cdot x_2 = 6$.Отсюда находим второй корень:$x_2 = -6$.

Для проверки можно использовать формулу для суммы корней: $x_1 + x_2 = -p$.$-1 + (-6) = -7$.Это соответствует значению $-p$, так как $p=7$. Второй корень найден верно.

Ответ: -6.

2) $x^2-8x-9=0$.

Проверим, является ли $x=-1$ корнем, подставив это значение в уравнение:$(-1)^2 - 8 \cdot (-1) - 9 = 1 + 8 - 9 = 0$.Получено верное равенство $0=0$, значит $x_1=-1$ является корнем.

Снова воспользуемся теоремой Виета. В этом уравнении коэффициенты $p=-8$ и $q=-9$.Используем формулу для произведения корней $x_1 \cdot x_2 = q$:$(-1) \cdot x_2 = -9$.Отсюда находим второй корень:$x_2 = 9$.

Проверим результат, используя формулу для суммы корней: $x_1 + x_2 = -p$.$-1 + 9 = 8$.Это соответствует значению $-p$, так как $p=-8$, а $-p = -(-8) = 8$. Второй корень найден верно.

Ответ: 9.