Номер 538, страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 31. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 538, страница 217.

Условие.

538. 1) $\frac{3x+4}{x-6} = \frac{x-2}{4x+3}; $

2) $\frac{x+2}{x-2} + \frac{x-2}{x+2} = \frac{13}{6}; $

3) $\frac{x+5}{x+2} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1}; $

4) $\frac{x^2-2x-5}{(x-3)(x-1)} + \frac{1}{x-3} = 1; $

5) $\frac{x^2}{x+3} - \frac{x}{-3-x} = \frac{6}{x+3}; $

6) $\frac{x^2}{x-1} - \frac{2x}{1-x} = \frac{3}{x-1}. $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Дано уравнение: $\frac{3x+4}{x-6} = \frac{x-2}{4x+3}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x - 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq 6$

$4x + 3 \neq 0 \Rightarrow 4x \neq -3 \Rightarrow x \neq -\frac{3}{4}$

ОДЗ: $x \neq 6$ и $x \neq -0.75$.

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$(3x+4)(4x+3) = (x-2)(x-6)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$12x^2 + 9x + 16x + 12 = x^2 - 6x - 2x + 12$

Приведем подобные слагаемые:

$12x^2 + 25x + 12 = x^2 - 8x + 12$

Перенесем все члены в левую часть и упростим:

$12x^2 - x^2 + 25x + 8x + 12 - 12 = 0$

$11x^2 + 33x = 0$

Вынесем общий множитель $11x$ за скобки:

$11x(x + 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$11x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$

$x + 3 = 0 \Rightarrow x_2 = -3$

Оба корня ($0$ и $-3$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-3; 0$

2)

Дано уравнение: $\frac{x+2}{x-2} + \frac{x-2}{x+2} = \frac{13}{6}$

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, т.е. $x-2 \neq 0$ и $x+2 \neq 0$. Следовательно, $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x-2)(x+2)$:

$\frac{(x+2)(x+2)}{(x-2)(x+2)} + \frac{(x-2)(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{13}{6}$

$\frac{(x+2)^2 + (x-2)^2}{x^2 - 4} = \frac{13}{6}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{(x^2 + 4x + 4) + (x^2 - 4x + 4)}{x^2 - 4} = \frac{13}{6}$

$\frac{2x^2 + 8}{x^2 - 4} = \frac{13}{6}$

Воспользуемся свойством пропорции:

$6(2x^2 + 8) = 13(x^2 - 4)$

$12x^2 + 48 = 13x^2 - 52$

Перенесем все члены в одну сторону:

$13x^2 - 12x^2 - 52 - 48 = 0$

$x^2 - 100 = 0$

$x^2 = 100$

Отсюда $x_1 = 10$ и $x_2 = -10$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 2, x \neq -2$).

Ответ: $-10; 10$

3)

Дано уравнение: $\frac{x+5}{x+2} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1}$

ОДЗ: $x+2 \neq 0$ и $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -2$ и $x \neq -1$.

Общий знаменатель для всех дробей: $(x+1)(x+2)$. Умножим обе части уравнения на него, чтобы избавиться от знаменателей:

$\frac{(x+5)(x+1)(x+2)}{x+2} + \frac{1 \cdot (x+1)(x+2)}{(x+1)(x+2)} = \frac{1 \cdot (x+1)(x+2)}{x+1}$

$(x+5)(x+1) + 1 = 1(x+2)$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 + x + 5x + 5 + 1 = x + 2$

$x^2 + 6x + 6 = x + 2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 6x - x + 6 - 2 = 0$

$x^2 + 5x + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -5$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 4$

Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -4$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -1$), следовательно, это посторонний корень. Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-4$

4)

Дано уравнение: $\frac{x^2 - 2x - 5}{(x-3)(x-1)} + \frac{1}{x-3} = 1$

ОДЗ: $x-3 \neq 0$ и $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 3$ и $x \neq 1$.

Общий знаменатель: $(x-3)(x-1)$. Умножим обе части уравнения на него:

$(x^2 - 2x - 5) + 1 \cdot (x-1) = 1 \cdot (x-3)(x-1)$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 - 2x - 5 + x - 1 = x^2 - x - 3x + 3$

$x^2 - x - 6 = x^2 - 4x + 3$

Перенесем члены с $x$ в левую часть, а константы — в правую:

$x^2 - x^2 - x + 4x = 3 + 6$

$3x = 9$

$x = 3$

Проверим корень на соответствие ОДЗ. Корень $x = 3$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 3$), значит, он является посторонним.

Ответ: корней нет

5)

Дано уравнение: $\frac{x^2}{x+3} - \frac{x}{-3-x} = \frac{6}{x+3}$

Упростим второй член, заметив, что $-3-x = -(x+3)$:

$\frac{x^2}{x+3} - \frac{x}{-(x+3)} = \frac{6}{x+3}$

$\frac{x^2}{x+3} + \frac{x}{x+3} = \frac{6}{x+3}$

Теперь сложим дроби в левой части:

$\frac{x^2+x}{x+3} = \frac{6}{x+3}$

ОДЗ: $x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$.

Так как знаменатели равны и не равны нулю, мы можем приравнять числители:

$x^2 + x = 6$

$x^2 + x - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -1$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -6$

Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Проверим корни. Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ. Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -3$), поэтому является посторонним.

Ответ: $2$

6)

Дано уравнение: $\frac{x^2}{x-1} - \frac{2x}{1-x} = \frac{3}{x-1}$

Упростим второй член, заметив, что $1-x = -(x-1)$:

$\frac{x^2}{x-1} - \frac{2x}{-(x-1)} = \frac{3}{x-1}$

$\frac{x^2}{x-1} + \frac{2x}{x-1} = \frac{3}{x-1}$

Сложим дроби слева:

$\frac{x^2+2x}{x-1} = \frac{3}{x-1}$

ОДЗ: $x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.

Приравняем числители:

$x^2 + 2x = 3$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -2$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -3$

Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Проверим корни. Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 1$), это посторонний корень. Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-3$