Номер 539, страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 31. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 539, страница 217.

Условие.

539. Имеет ли действительные корни уравнение:

1) $x^4 - 5x^2 + 7 = 0;$

2) $x^4 + 3x^2 + 2 = 0?$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Данное уравнение $x^4 - 5x^2 + 7 = 0$ является биквадратным. Для его решения введем замену переменной.
Пусть $y = x^2$. Поскольку мы ищем действительные корни для $x$, значение $x^2$ не может быть отрицательным, следовательно, $y \ge 0$.
После замены исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$:
$y^2 - 5y + 7 = 0$.
Найдем дискриминант $D$ этого уравнения по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$.
Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $y^2 - 5y + 7 = 0$ не имеет действительных корней.
Поскольку нет действительных значений для $y$, то не существует и действительных значений для $x$, так как $x^2 = y$.
Ответ: нет, уравнение не имеет действительных корней.

2) Рассмотрим уравнение $x^4 + 3x^2 + 2 = 0$.
Для любого действительного числа $x$, его квадрат $x^2$ является неотрицательным числом, то есть $x^2 \ge 0$.
Соответственно, $x^4 = (x^2)^2$ также является неотрицательным числом: $x^4 \ge 0$.
Таким образом, левая часть уравнения представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых ($x^4$ и $3x^2$) и положительного числа $2$.
$x^4 + 3x^2 + 2 \ge 0 + 3 \cdot 0 + 2 = 2$.
Это означает, что значение выражения в левой части уравнения всегда будет больше или равно 2. Оно никогда не сможет быть равно 0.
Следовательно, у уравнения нет действительных корней.
Ответ: нет, уравнение не имеет действительных корней.