Страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

5. Убедившись в том, что $x=-1$ является корнем уравнения, найти второй его корень:

1) $x^2+7x+6=0$;

2) $x^2-8x-9=0$.

1) $x^2+7x+6=0$;

Сначала убедимся, что $x=-1$ является корнем уравнения. Для этого подставим данное значение в уравнение:$(-1)^2 + 7 \cdot (-1) + 6 = 1 - 7 + 6 = 0$.Поскольку мы получили верное равенство $0=0$, значение $x_1=-1$ действительно является корнем уравнения.

Для нахождения второго корня $x_2$ воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2+px+q=0$ произведение корней равно свободному члену $q$, а их сумма равна коэффициенту $p$, взятому с противоположным знаком.

В нашем уравнении коэффициенты равны $p=7$ и $q=6$.Используем формулу для произведения корней:$x_1 \cdot x_2 = q$.Подставим известный корень $x_1=-1$:$(-1) \cdot x_2 = 6$.Отсюда находим второй корень:$x_2 = -6$.

Для проверки можно использовать формулу для суммы корней: $x_1 + x_2 = -p$.$-1 + (-6) = -7$.Это соответствует значению $-p$, так как $p=7$. Второй корень найден верно.

Ответ: -6.

2) $x^2-8x-9=0$.

Проверим, является ли $x=-1$ корнем, подставив это значение в уравнение:$(-1)^2 - 8 \cdot (-1) - 9 = 1 + 8 - 9 = 0$.Получено верное равенство $0=0$, значит $x_1=-1$ является корнем.

Снова воспользуемся теоремой Виета. В этом уравнении коэффициенты $p=-8$ и $q=-9$.Используем формулу для произведения корней $x_1 \cdot x_2 = q$:$(-1) \cdot x_2 = -9$.Отсюда находим второй корень:$x_2 = 9$.

Проверим результат, используя формулу для суммы корней: $x_1 + x_2 = -p$.$-1 + 9 = 8$.Это соответствует значению $-p$, так как $p=-8$, а $-p = -(-8) = 8$. Второй корень найден верно.

Ответ: 9.

6. Разложить на множители трёхчлен:

1) $x^2 - 6x - 7$;

2) $2x^2 - 5x + 3$.

1) Чтобы разложить на множители квадратный трёхчлен $x^2 - 6x - 7$, используется формула $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — это корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Сначала решим уравнение $x^2 - 6x - 7 = 0$. Коэффициенты данного уравнения: $a=1, b=-6, c=-7$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Теперь подставим найденные корни $x_1=7$, $x_2=-1$ и коэффициент $a=1$ в формулу разложения на множители:

$x^2 - 6x - 7 = 1 \cdot (x - 7)(x - (-1)) = (x - 7)(x + 1)$.

Ответ: $(x - 7)(x + 1)$.

2) Чтобы разложить на множители трёхчлен $2x^2 - 5x + 3$, также воспользуемся формулой $a(x - x_1)(x - x_2)$.

Сначала решим уравнение $2x^2 - 5x + 3 = 0$. Коэффициенты: $a=2, b=-5, c=3$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Теперь подставим найденные корни $x_1=\frac{3}{2}$, $x_2=1$ и коэффициент $a=2$ в формулу разложения:

$2x^2 - 5x + 3 = 2(x - \frac{3}{2})(x - 1)$.

Для более удобного вида внесём множитель 2 в первую скобку, чтобы избавиться от дроби:

$2(x - \frac{3}{2}) = 2 \cdot x - 2 \cdot \frac{3}{2} = 2x - 3$.

В итоге получаем следующее разложение:

$2x^2 - 5x + 3 = (2x - 3)(x - 1)$.

Ответ: $(2x - 3)(x - 1)$.

Решить уравнение (535—538).

535.

1) $x^4 - 10x^2 + 9 = 0;$

2) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0;$

3) $x^4 - 13x^2 + 36 = 0;$

4) $x^4 - 50x^2 + 49 = 0.$

1) Решим уравнение $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как $x^2$ не может быть отрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$.

После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - 10t + 9 = 0$

Решим его, используя теорему Виета. Сумма корней $t_1 + t_2 = 10$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = 9$. Легко подобрать корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 9$.

Оба значения $t$ удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

1. При $t = 1$, получаем $x^2 = 1$, откуда $x = \pm 1$.

2. При $t = 9$, получаем $x^2 = 9$, откуда $x = \pm 3$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-3; -1; 1; 3$.

2) Решим уравнение $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Введем замену переменной $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$t^2 - 5t + 4 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $5$, а произведение равно $4$. Корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.

Оба корня неотрицательны, поэтому подходят для дальнейшего решения.

Выполним обратную замену:

1. Если $x^2 = 1$, то $x = \pm 1$.

2. Если $x^2 = 4$, то $x = \pm 2$.

Ответ: $-2; -1; 1; 2$.

3) Решим уравнение $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Уравнение преобразуется в квадратное:

$t^2 - 13t + 36 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25$.

Корни находятся по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{13 - \sqrt{25}}{2} = \frac{13 - 5}{2} = 4$.

$t_2 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2} = \frac{13 + 5}{2} = 9$.

Оба корня ($4$ и $9$) положительны и удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Произведем обратную замену:

1. При $t=4$, $x^2=4$, откуда $x = \pm 2$.

2. При $t=9$, $x^2=9$, откуда $x = \pm 3$.

Ответ: $-3; -2; 2; 3$.

4) Решим уравнение $x^4 - 50x^2 + 49 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$t^2 - 50t + 49 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $50$, а их произведение - $49$. Отсюда корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 49$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

1. При $t=1$, имеем $x^2 = 1$, следовательно, $x = \pm 1$.

2. При $t=49$, имеем $x^2 = 49$, следовательно, $x = \pm 7$.

Ответ: $-7; -1; 1; 7$.

536. 1) $x^4 - 3x^2 - 4 = 0;$

2) $x^4 + 3x^2 - 4 = 0;$

3) $x^4 + x^2 - 20 = 0;$

4) $x^4 - 4x^2 - 5 = 0.$

1) Дано биквадратное уравнение $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$. Это уравнение можно решить путем введения новой переменной.
Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.
Подставив $t$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение:
$t^2 - 3t - 4 = 0$.
Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4$.
$t_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1$.
Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому мы его отбрасываем.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$ для $t_1 = 4$:
$x^2 = 4$.
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Ответ: $-2; 2$.

2) Дано биквадратное уравнение $x^4 + 3x^2 - 4 = 0$.
Сделаем замену переменной: $t = x^2$, при этом $t \ge 0$.
Уравнение преобразуется в квадратное:
$t^2 + 3t - 4 = 0$.
Решим его. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-4$, а сумма $-3$. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -4$.
Либо через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.
Корни для $t$:
$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = 1$.
$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = -4$.
Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Выполним обратную замену для $t_1 = 1$:
$x^2 = 1$.
Отсюда $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Ответ: $-1; 1$.

3) Дано биквадратное уравнение $x^4 + x^2 - 20 = 0$.
Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение: $t^2 + t - 20 = 0$.
Найдем его корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$.
Корни для $t$:
$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 9}{2} = 4$.
$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 9}{2} = -5$.
Корень $t_2 = -5$ не является решением, так как $t \ge 0$.
Вернемся к переменной $x$ для $t_1 = 4$:
$x^2 = 4$.
Находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Ответ: $-2; 2$.

4) Дано биквадратное уравнение $x^4 - 4x^2 - 5 = 0$.
Выполним замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Получим уравнение: $t^2 - 4t - 5 = 0$.
Найдем его корни. По теореме Виета: произведение корней равно $-5$, а сумма $4$. Корни: $t_1=5$ и $t_2=-1$.
Либо через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$.
Корни для $t$:
$t_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = 5$.
$t_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 6}{2} = -1$.
Корень $t_2 = -1$ не подходит, так как $t \ge 0$.
Сделаем обратную замену для $t_1 = 5$:
$x^2 = 5$.
Отсюда получаем два иррациональных корня: $x_1 = \sqrt{5}$ и $x_2 = -\sqrt{5}$.
Ответ: $-\sqrt{5}; \sqrt{5}$.

537. 1) $\frac{10}{x-3} - \frac{8}{x} = 1;$

2) $\frac{2}{x-5} + \frac{14}{x} = 3;$

3) $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+3} = \frac{3}{20};$

4) $\frac{40}{x-20} - \frac{40}{x} = 1;$

5) $\frac{1}{x-3} + \frac{1}{x+3} = \frac{5}{8};$

6) $\frac{4}{x-2} + \frac{4}{x+2} = 1,5.$

1) Решим уравнение $\frac{10}{x-3} - \frac{8}{x} = 1$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $x-3 \neq 0$ и $x \neq 0$, то есть $x \neq 3$ и $x \neq 0$.

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x-3)$ и умножим обе части уравнения на него:

$10x - 8(x-3) = 1 \cdot x(x-3)$

Раскроем скобки и упростим:

$10x - 8x + 24 = x^2 - 3x$

$2x + 24 = x^2 - 3x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 3x - 2x - 24 = 0$

$x^2 - 5x - 24 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $5$, а произведение равно $-24$. Подбором находим корни:

$x_1 = 8$

$x_2 = -3$

Оба корня ($8$ и $-3$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 3$ и $x \neq 0$).

Ответ: $-3; 8$.

2) Решим уравнение $\frac{2}{x-5} + \frac{14}{x} = 3$.

ОДЗ: $x-5 \neq 0$ и $x \neq 0$, то есть $x \neq 5$ и $x \neq 0$.

Общий знаменатель: $x(x-5)$. Умножим обе части уравнения на него:

$2x + 14(x-5) = 3x(x-5)$

Раскроем скобки:

$2x + 14x - 70 = 3x^2 - 15x$

$16x - 70 = 3x^2 - 15x$

Приведем к стандартному виду:

$3x^2 - 15x - 16x + 70 = 0$

$3x^2 - 31x + 70 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант. Здесь $a=3, b=-31, c=70$.

$D = b^2 - 4ac = (-31)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 70 = 961 - 840 = 121 = 11^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{31 \pm 11}{2 \cdot 3} = \frac{31 \pm 11}{6}$

$x_1 = \frac{31 + 11}{6} = \frac{42}{6} = 7$

$x_2 = \frac{31 - 11}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$

Оба корня ($7$ и $\frac{10}{3}$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{10}{3}; 7$.

3) Решим уравнение $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+3} = \frac{3}{20}$.

ОДЗ: $x \neq 0$ и $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq 0$ и $x \neq -3$.

Общий знаменатель: $20x(x+3)$. Умножим обе части уравнения на него:

$1 \cdot 20(x+3) + 1 \cdot 20x = 3x(x+3)$

$20x + 60 + 20x = 3x^2 + 9x$

$40x + 60 = 3x^2 + 9x$

Приведем к стандартному виду:

$3x^2 + 9x - 40x - 60 = 0$

$3x^2 - 31x - 60 = 0$

Решим через дискриминант. Здесь $a=3, b=-31, c=-60$.

$D = b^2 - 4ac = (-31)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-60) = 961 + 720 = 1681 = 41^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{31 \pm 41}{2 \cdot 3} = \frac{31 \pm 41}{6}$

$x_1 = \frac{31 + 41}{6} = \frac{72}{6} = 12$

$x_2 = \frac{31 - 41}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Оба корня ($12$ и $-\frac{5}{3}$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-\frac{5}{3}; 12$.

4) Решим уравнение $\frac{40}{x-20} - \frac{40}{x} = 1$.

ОДЗ: $x-20 \neq 0$ и $x \neq 0$, то есть $x \neq 20$ и $x \neq 0$.

Общий знаменатель: $x(x-20)$. Умножим обе части на него:

$40x - 40(x-20) = 1 \cdot x(x-20)$

$40x - 40x + 800 = x^2 - 20x$

$800 = x^2 - 20x$

Приведем к стандартному виду:

$x^2 - 20x - 800 = 0$

Решим по теореме Виета. Сумма корней $20$, произведение $-800$.

$x_1 = 40$

$x_2 = -20$

Оба корня ($40$ и $-20$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-20; 40$.

5) Решим уравнение $\frac{1}{x-3} + \frac{1}{x+3} = \frac{5}{8}$.

ОДЗ: $x-3 \neq 0$ и $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Общий знаменатель: $8(x-3)(x+3)$. Умножим обе части на него:

$1 \cdot 8(x+3) + 1 \cdot 8(x-3) = 5(x-3)(x+3)$

$8x + 24 + 8x - 24 = 5(x^2 - 9)$

$16x = 5x^2 - 45$

Приведем к стандартному виду:

$5x^2 - 16x - 45 = 0$

Решим через дискриминант. Здесь $a=5, b=-16, c=-45$.

$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 256 + 900 = 1156 = 34^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm 34}{2 \cdot 5} = \frac{16 \pm 34}{10}$

$x_1 = \frac{16 + 34}{10} = \frac{50}{10} = 5$

$x_2 = \frac{16 - 34}{10} = \frac{-18}{10} = -1,8$

Оба корня ($5$ и $-1,8$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-1,8; 5$.

6) Решим уравнение $\frac{4}{x-2} + \frac{4}{x+2} = 1,5$.

Представим $1,5$ в виде дроби $\frac{3}{2}$. Уравнение примет вид: $\frac{4}{x-2} + \frac{4}{x+2} = \frac{3}{2}$.

ОДЗ: $x-2 \neq 0$ и $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Общий знаменатель: $2(x-2)(x+2)$. Умножим обе части на него:

$4 \cdot 2(x+2) + 4 \cdot 2(x-2) = 3(x-2)(x+2)$

$8(x+2) + 8(x-2) = 3(x^2 - 4)$

$8x + 16 + 8x - 16 = 3x^2 - 12$

$16x = 3x^2 - 12$

Приведем к стандартному виду:

$3x^2 - 16x - 12 = 0$

Решим через дискриминант. Здесь $a=3, b=-16, c=-12$.

$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 256 + 144 = 400 = 20^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm 20}{2 \cdot 3} = \frac{16 \pm 20}{6}$

$x_1 = \frac{16 + 20}{6} = \frac{36}{6} = 6$

$x_2 = \frac{16 - 20}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Оба корня ($6$ и $-\frac{2}{3}$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-\frac{2}{3}; 6$.

538. 1) $\frac{3x+4}{x-6} = \frac{x-2}{4x+3}; $

2) $\frac{x+2}{x-2} + \frac{x-2}{x+2} = \frac{13}{6}; $

3) $\frac{x+5}{x+2} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1}; $

4) $\frac{x^2-2x-5}{(x-3)(x-1)} + \frac{1}{x-3} = 1; $

5) $\frac{x^2}{x+3} - \frac{x}{-3-x} = \frac{6}{x+3}; $

6) $\frac{x^2}{x-1} - \frac{2x}{1-x} = \frac{3}{x-1}. $

1)

Дано уравнение: $\frac{3x+4}{x-6} = \frac{x-2}{4x+3}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x - 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq 6$

$4x + 3 \neq 0 \Rightarrow 4x \neq -3 \Rightarrow x \neq -\frac{3}{4}$

ОДЗ: $x \neq 6$ и $x \neq -0.75$.

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$(3x+4)(4x+3) = (x-2)(x-6)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$12x^2 + 9x + 16x + 12 = x^2 - 6x - 2x + 12$

Приведем подобные слагаемые:

$12x^2 + 25x + 12 = x^2 - 8x + 12$

Перенесем все члены в левую часть и упростим:

$12x^2 - x^2 + 25x + 8x + 12 - 12 = 0$

$11x^2 + 33x = 0$

Вынесем общий множитель $11x$ за скобки:

$11x(x + 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$11x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$

$x + 3 = 0 \Rightarrow x_2 = -3$

Оба корня ($0$ и $-3$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-3; 0$

2)

Дано уравнение: $\frac{x+2}{x-2} + \frac{x-2}{x+2} = \frac{13}{6}$

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, т.е. $x-2 \neq 0$ и $x+2 \neq 0$. Следовательно, $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x-2)(x+2)$:

$\frac{(x+2)(x+2)}{(x-2)(x+2)} + \frac{(x-2)(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{13}{6}$

$\frac{(x+2)^2 + (x-2)^2}{x^2 - 4} = \frac{13}{6}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{(x^2 + 4x + 4) + (x^2 - 4x + 4)}{x^2 - 4} = \frac{13}{6}$

$\frac{2x^2 + 8}{x^2 - 4} = \frac{13}{6}$

Воспользуемся свойством пропорции:

$6(2x^2 + 8) = 13(x^2 - 4)$

$12x^2 + 48 = 13x^2 - 52$

Перенесем все члены в одну сторону:

$13x^2 - 12x^2 - 52 - 48 = 0$

$x^2 - 100 = 0$

$x^2 = 100$

Отсюда $x_1 = 10$ и $x_2 = -10$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 2, x \neq -2$).

Ответ: $-10; 10$

3)

Дано уравнение: $\frac{x+5}{x+2} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1}$

ОДЗ: $x+2 \neq 0$ и $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -2$ и $x \neq -1$.

Общий знаменатель для всех дробей: $(x+1)(x+2)$. Умножим обе части уравнения на него, чтобы избавиться от знаменателей:

$\frac{(x+5)(x+1)(x+2)}{x+2} + \frac{1 \cdot (x+1)(x+2)}{(x+1)(x+2)} = \frac{1 \cdot (x+1)(x+2)}{x+1}$

$(x+5)(x+1) + 1 = 1(x+2)$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 + x + 5x + 5 + 1 = x + 2$

$x^2 + 6x + 6 = x + 2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 6x - x + 6 - 2 = 0$

$x^2 + 5x + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -5$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 4$

Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -4$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -1$), следовательно, это посторонний корень. Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-4$

4)

Дано уравнение: $\frac{x^2 - 2x - 5}{(x-3)(x-1)} + \frac{1}{x-3} = 1$

ОДЗ: $x-3 \neq 0$ и $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 3$ и $x \neq 1$.

Общий знаменатель: $(x-3)(x-1)$. Умножим обе части уравнения на него:

$(x^2 - 2x - 5) + 1 \cdot (x-1) = 1 \cdot (x-3)(x-1)$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 - 2x - 5 + x - 1 = x^2 - x - 3x + 3$

$x^2 - x - 6 = x^2 - 4x + 3$

Перенесем члены с $x$ в левую часть, а константы — в правую:

$x^2 - x^2 - x + 4x = 3 + 6$

$3x = 9$

$x = 3$

Проверим корень на соответствие ОДЗ. Корень $x = 3$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 3$), значит, он является посторонним.

Ответ: корней нет

5)

Дано уравнение: $\frac{x^2}{x+3} - \frac{x}{-3-x} = \frac{6}{x+3}$

Упростим второй член, заметив, что $-3-x = -(x+3)$:

$\frac{x^2}{x+3} - \frac{x}{-(x+3)} = \frac{6}{x+3}$

$\frac{x^2}{x+3} + \frac{x}{x+3} = \frac{6}{x+3}$

Теперь сложим дроби в левой части:

$\frac{x^2+x}{x+3} = \frac{6}{x+3}$

ОДЗ: $x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$.

Так как знаменатели равны и не равны нулю, мы можем приравнять числители:

$x^2 + x = 6$

$x^2 + x - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -1$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -6$

Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Проверим корни. Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ. Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -3$), поэтому является посторонним.

Ответ: $2$

6)

Дано уравнение: $\frac{x^2}{x-1} - \frac{2x}{1-x} = \frac{3}{x-1}$

Упростим второй член, заметив, что $1-x = -(x-1)$:

$\frac{x^2}{x-1} - \frac{2x}{-(x-1)} = \frac{3}{x-1}$

$\frac{x^2}{x-1} + \frac{2x}{x-1} = \frac{3}{x-1}$

Сложим дроби слева:

$\frac{x^2+2x}{x-1} = \frac{3}{x-1}$

ОДЗ: $x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.

Приравняем числители:

$x^2 + 2x = 3$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -2$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -3$

Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Проверим корни. Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 1$), это посторонний корень. Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-3$

539. Имеет ли действительные корни уравнение:

1) $x^4 - 5x^2 + 7 = 0;$

2) $x^4 + 3x^2 + 2 = 0?$

1) Данное уравнение $x^4 - 5x^2 + 7 = 0$ является биквадратным. Для его решения введем замену переменной.
Пусть $y = x^2$. Поскольку мы ищем действительные корни для $x$, значение $x^2$ не может быть отрицательным, следовательно, $y \ge 0$.
После замены исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$:
$y^2 - 5y + 7 = 0$.
Найдем дискриминант $D$ этого уравнения по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$.
Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $y^2 - 5y + 7 = 0$ не имеет действительных корней.
Поскольку нет действительных значений для $y$, то не существует и действительных значений для $x$, так как $x^2 = y$.
Ответ: нет, уравнение не имеет действительных корней.

2) Рассмотрим уравнение $x^4 + 3x^2 + 2 = 0$.
Для любого действительного числа $x$, его квадрат $x^2$ является неотрицательным числом, то есть $x^2 \ge 0$.
Соответственно, $x^4 = (x^2)^2$ также является неотрицательным числом: $x^4 \ge 0$.
Таким образом, левая часть уравнения представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых ($x^4$ и $3x^2$) и положительного числа $2$.
$x^4 + 3x^2 + 2 \ge 0 + 3 \cdot 0 + 2 = 2$.
Это означает, что значение выражения в левой части уравнения всегда будет больше или равно 2. Оно никогда не сможет быть равно 0.
Следовательно, у уравнения нет действительных корней.
Ответ: нет, уравнение не имеет действительных корней.

540. При каких значениях x равны значения выражений:

1) $\frac{6}{x^2-1} + \frac{2}{1-x}$ и $2 - \frac{x+4}{x+1}$,

2) $\frac{1}{x+2} - \frac{3}{x-2}$ и $\frac{4}{4-x^2} + 1?$

1)

Чтобы найти значения $x$, при которых значения выражений равны, приравняем их друг к другу:

$\frac{6}{x^2-1} + \frac{2}{1-x} = 2 - \frac{x+4}{x+1}$

Преобразуем знаменатели для нахождения общего знаменателя. Используем формулу разности квадратов $x^2-1 = (x-1)(x+1)$ и вынесем минус за скобки во втором слагаемом: $1-x = -(x-1)$.

$\frac{6}{(x-1)(x+1)} - \frac{2}{x-1} = 2 - \frac{x+4}{x+1}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x-1 \neq 0$ и $x+1 \neq 0$. Следовательно, $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Приведем все члены уравнения к общему знаменателю $(x-1)(x+1)$ и умножим обе части уравнения на него:

$6 - 2(x+1) = 2(x-1)(x+1) - (x+4)(x-1)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$6 - 2x - 2 = 2(x^2 - 1) - (x^2 - x + 4x - 4)$

$4 - 2x = 2x^2 - 2 - (x^2 + 3x - 4)$

$4 - 2x = 2x^2 - 2 - x^2 - 3x + 4$

$4 - 2x = x^2 - 3x + 2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 3x + 2x + 2 - 4 = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Его можно решить по теореме Виета или через дискриминант. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq -1$). Корень $x = -1$ является посторонним, так как обращает знаменатель в ноль. Корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x=2$.

2)

Приравняем данные выражения:

$\frac{1}{x+2} - \frac{3}{x-2} = \frac{4}{4-x^2} + 1$

Преобразуем знаменатель дроби в правой части: $4-x^2 = -(x^2-4) = -(x-2)(x+2)$.

$\frac{1}{x+2} - \frac{3}{x-2} = \frac{4}{-(x-2)(x+2)} + 1$

$\frac{1}{x+2} - \frac{3}{x-2} = -\frac{4}{(x-2)(x+2)} + 1$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+2 \neq 0$ и $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$ и $x \neq 2$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-2)(x+2)$:

$1 \cdot (x-2) - 3 \cdot (x+2) = -4 + 1 \cdot (x-2)(x+2)$

Раскроем скобки и упростим:

$x - 2 - 3x - 6 = -4 + (x^2 - 4)$

$-2x - 8 = -4 + x^2 - 4$

$-2x - 8 = x^2 - 8$

Перенесем все члены в правую часть:

$x^2 + 2x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x+2) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -2$ и $x \neq 2$). Корень $x = -2$ является посторонним. Корень $x=0$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x=0$.

541. Решить уравнение:

1) $(x-1)^4 - 5(x-1)^2 + 4 = 0;$

2) $(x+5)^4 + 8(x+5)^2 - 9 = 0.$

1) $(x-1)^4-5(x-1)^2+4=0$

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $(x-1)$.

Введем замену переменной. Пусть $y = (x-1)^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $y \ge 0$.

Тогда исходное уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $y$:

$y^2 - 5y + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения.

По теореме Виета:

$y_1 + y_2 = 5$

$y_1 \cdot y_2 = 4$

Отсюда находим корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = 4$.

Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных корней $y$.

1. Если $y = 1$, то $(x-1)^2 = 1$.

Это уравнение распадается на два:

$x - 1 = 1 \implies x_1 = 2$

$x - 1 = -1 \implies x_2 = 0$

2. Если $y = 4$, то $(x-1)^2 = 4$.

Это уравнение также распадается на два:

$x - 1 = 2 \implies x_3 = 3$

$x - 1 = -2 \implies x_4 = -1$

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-1; 0; 2; 3$.

2) $(x+5)^4+8(x+5)^2-9=0$

Это уравнение также является биквадратным, но относительно выражения $(x+5)$.

Введем замену переменной. Пусть $t = (x+5)^2$. По определению квадрата, $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$t^2 + 8t - 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 - 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Теперь проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

$t_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $1 \ge 0$.

$t_2 = -9$ не удовлетворяет условию, так как $-9 < 0$. Этот корень является посторонним.

Следовательно, продолжаем решение только с $t=1$.

Выполним обратную замену:

$(x+5)^2 = 1$

Это уравнение эквивалентно двум линейным уравнениям:

$x + 5 = 1 \implies x_1 = 1 - 5 = -4$

$x + 5 = -1 \implies x_2 = -1 - 5 = -6$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-6; -4$.

542. С помощью калькулятора решить уравнение:

1) $x^4 + 3x^2 - 7 = 0$;

2) $x^4 + 5x^2 - 5 = 0$;

3) $6x^4 + 19x^2 - 47 = 0$;

4) $5x^4 + 18x^2 - 111 = 0$.

1) $x^4 + 3x^2 - 7 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Произведем замену переменной: пусть $y = x^2$. Учитывая, что $x^2 \ge 0$, будем рассматривать только неотрицательные значения $y$.

После замены получаем квадратное уравнение: $y^2 + 3y - 7 = 0$.

Находим корни этого уравнения по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ с коэффициентами $a=1, b=3, c=-7$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 9 + 28 = 37$.

Корни для $y$: $y_1 = \frac{-3 + \sqrt{37}}{2}$ и $y_2 = \frac{-3 - \sqrt{37}}{2}$.

С помощью калькулятора найдем приближенное значение $\sqrt{37} \approx 6.0828$. Тогда $y_1 \approx \frac{-3 + 6.0828}{2} \approx 1.5414$.

Корень $y_2 = \frac{-3 - \sqrt{37}}{2}$ является отрицательным числом, поэтому он не дает действительных решений для $x$, так как $x^2 = y \ge 0$.

Выполняем обратную замену для $y_1$: $x^2 = \frac{-3 + \sqrt{37}}{2}$.

Тогда $x = \pm\sqrt{\frac{-3 + \sqrt{37}}{2}}$.

С помощью калькулятора вычисляем приближенное значение: $x \approx \pm\sqrt{1.5414} \approx \pm 1.2415$. Округляя до сотых, получаем $x \approx \pm 1.24$.

Ответ: $x \approx \pm 1.24$.

2) $x^4 + 5x^2 - 5 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$ ($y \ge 0$).

Уравнение принимает вид: $y^2 + 5y - 5 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=5, c=-5$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 25 + 20 = 45$.

Корни для $y$: $y_1 = \frac{-5 + \sqrt{45}}{2} = \frac{-5 + 3\sqrt{5}}{2}$ и $y_2 = \frac{-5 - \sqrt{45}}{2} = \frac{-5 - 3\sqrt{5}}{2}$.

С помощью калькулятора найдем приближенное значение $\sqrt{5} \approx 2.2361$. Тогда $y_1 \approx \frac{-5 + 3 \cdot 2.2361}{2} = \frac{-5 + 6.7083}{2} \approx 0.8542$.

Корень $y_2$ отрицательный, поэтому он не дает действительных решений для $x$.

Выполняем обратную замену для $y_1$: $x^2 = \frac{-5 + 3\sqrt{5}}{2}$.

Тогда $x = \pm\sqrt{\frac{-5 + 3\sqrt{5}}{2}}$.

С помощью калькулятора вычисляем приближенное значение: $x \approx \pm\sqrt{0.8542} \approx \pm 0.9242$. Округляя до сотых, получаем $x \approx \pm 0.92$.

Ответ: $x \approx \pm 0.92$.

3) $6x^4 + 19x^2 - 47 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$ ($y \ge 0$).

Уравнение принимает вид: $6y^2 + 19y - 47 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с коэффициентами $a=6, b=19, c=-47$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 19^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-47) = 361 + 1128 = 1489$.

Корни для $y$: $y_1 = \frac{-19 + \sqrt{1489}}{12}$ и $y_2 = \frac{-19 - \sqrt{1489}}{12}$.

С помощью калькулятора найдем приближенное значение $\sqrt{1489} \approx 38.5876$. Тогда $y_1 \approx \frac{-19 + 38.5876}{12} = \frac{19.5876}{12} \approx 1.6323$.

Корень $y_2$ отрицательный, поэтому он не дает действительных решений для $x$.

Выполняем обратную замену для $y_1$: $x^2 = \frac{-19 + \sqrt{1489}}{12}$.

Тогда $x = \pm\sqrt{\frac{-19 + \sqrt{1489}}{12}}$.

С помощью калькулятора вычисляем приближенное значение: $x \approx \pm\sqrt{1.6323} \approx \pm 1.2776$. Округляя до сотых, получаем $x \approx \pm 1.28$.

Ответ: $x \approx \pm 1.28$.

4) $5x^4 + 18x^2 - 111 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$ ($y \ge 0$).

Уравнение принимает вид: $5y^2 + 18y - 111 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с коэффициентами $a=5, b=18, c=-111$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 18^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-111) = 324 + 2220 = 2544$.

Корни для $y$: $y_1 = \frac{-18 + \sqrt{2544}}{10}$ и $y_2 = \frac{-18 - \sqrt{2544}}{10}$.

С помощью калькулятора найдем приближенное значение $\sqrt{2544} \approx 50.4381$. Тогда $y_1 \approx \frac{-18 + 50.4381}{10} = \frac{32.4381}{10} \approx 3.2438$.

Корень $y_2$ отрицательный, поэтому он не дает действительных решений для $x$.

Выполняем обратную замену для $y_1$: $x^2 = \frac{-18 + \sqrt{2544}}{10}$.

Тогда $x = \pm\sqrt{\frac{-18 + \sqrt{2544}}{10}}$.

С помощью калькулятора вычисляем приближенное значение: $x \approx \pm\sqrt{3.2438} \approx \pm 1.8011$. Округляя до сотых, получаем $x \approx \pm 1.80$.

Ответ: $x \approx \pm 1.80$.