Номер 535, страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 31. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 535, страница 217.

Условие.

Решить уравнение (535—538).

535.

1) $x^4 - 10x^2 + 9 = 0;$

2) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0;$

3) $x^4 - 13x^2 + 36 = 0;$

4) $x^4 - 50x^2 + 49 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Решим уравнение $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как $x^2$ не может быть отрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$.

После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - 10t + 9 = 0$

Решим его, используя теорему Виета. Сумма корней $t_1 + t_2 = 10$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = 9$. Легко подобрать корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 9$.

Оба значения $t$ удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

1. При $t = 1$, получаем $x^2 = 1$, откуда $x = \pm 1$.

2. При $t = 9$, получаем $x^2 = 9$, откуда $x = \pm 3$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-3; -1; 1; 3$.

2) Решим уравнение $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Введем замену переменной $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$t^2 - 5t + 4 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $5$, а произведение равно $4$. Корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.

Оба корня неотрицательны, поэтому подходят для дальнейшего решения.

Выполним обратную замену:

1. Если $x^2 = 1$, то $x = \pm 1$.

2. Если $x^2 = 4$, то $x = \pm 2$.

Ответ: $-2; -1; 1; 2$.

3) Решим уравнение $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Уравнение преобразуется в квадратное:

$t^2 - 13t + 36 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25$.

Корни находятся по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{13 - \sqrt{25}}{2} = \frac{13 - 5}{2} = 4$.

$t_2 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2} = \frac{13 + 5}{2} = 9$.

Оба корня ($4$ и $9$) положительны и удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Произведем обратную замену:

1. При $t=4$, $x^2=4$, откуда $x = \pm 2$.

2. При $t=9$, $x^2=9$, откуда $x = \pm 3$.

Ответ: $-3; -2; 2; 3$.

4) Решим уравнение $x^4 - 50x^2 + 49 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$t^2 - 50t + 49 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $50$, а их произведение - $49$. Отсюда корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 49$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

1. При $t=1$, имеем $x^2 = 1$, следовательно, $x = \pm 1$.

2. При $t=49$, имеем $x^2 = 49$, следовательно, $x = \pm 7$.

Ответ: $-7; -1; 1; 7$.