Номер 2, страница 216 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 31. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 2, страница 216.

Условие.

2. Представить в виде квадрата одночлена:

1) $16x^4$;

2) $\frac{4}{81}y^4$;

3) $x^6y^8$;

4) $0,01x^{10}y^{12}$.

Решение 4.

1) Чтобы представить одночлен $16x^4$ в виде квадрата другого одночлена, необходимо найти такой одночлен, который при возведении в квадрат даст исходное выражение. Для этого нужно извлечь квадратный корень из числового коэффициента и разделить на 2 показатель степени каждой переменной.

Коэффициент равен 16. Квадратный корень из 16 равен 4, так как $4^2 = 16$.

Переменная $x$ возведена в 4-ю степень. Чтобы найти, какая степень $x$ при возведении в квадрат даст $x^4$, мы должны разделить показатель степени на 2: $4 \div 2 = 2$. Таким образом, $(x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4$.

Собираем все вместе. Искомый одночлен — это $4x^2$. Представление в виде квадрата: $16x^4 = (4x^2)^2$.

Ответ: $(4x^2)^2$.

2) Рассмотрим одночлен $\frac{4}{81}y^4$.

Найдем квадратный корень из коэффициента $\frac{4}{81}$. Используя свойство корня из дроби, получаем: $\sqrt{\frac{4}{81}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{81}} = \frac{2}{9}$.

Найдем одночлен от $y$, который в квадрате даст $y^4$. Для этого разделим показатель степени на 2: $4 \div 2 = 2$. Получаем $y^2$, так как $(y^2)^2 = y^4$.

Следовательно, одночлен, который нужно возвести в квадрат, — это $\frac{2}{9}y^2$. Представление в виде квадрата: $\frac{4}{81}y^4 = (\frac{2}{9}y^2)^2$.

Ответ: $(\frac{2}{9}y^2)^2$.

3) Представим в виде квадрата одночлен $x^6y^8$.

Числовой коэффициент здесь неявный и равен 1, а $\sqrt{1} = 1$.

Для переменной $x^6$ делим показатель степени на 2: $6 \div 2 = 3$. Получаем $x^3$.

Для переменной $y^8$ делим показатель степени на 2: $8 \div 2 = 4$. Получаем $y^4$.

Таким образом, искомый одночлен — это $x^3y^4$. Проверим, возведя его в квадрат: $(x^3y^4)^2 = (x^3)^2(y^4)^2 = x^{3 \cdot 2}y^{4 \cdot 2} = x^6y^8$. Представление верное.

Ответ: $(x^3y^4)^2$.

4) Рассмотрим одночлен $0,01x^{10}y^{12}$.

Найдем квадратный корень из коэффициента $0,01$. $\sqrt{0,01} = 0,1$, так как $0,1^2 = 0,01$.

Для переменной $x^{10}$ разделим показатель степени на 2: $10 \div 2 = 5$. Получаем $x^5$.

Для переменной $y^{12}$ разделим показатель степени на 2: $12 \div 2 = 6$. Получаем $y^6$.

Соединив все части, получаем одночлен $0,1x^5y^6$. Его квадрат: $(0,1x^5y^6)^2 = (0,1)^2 \cdot (x^5)^2 \cdot (y^6)^2 = 0,01x^{10}y^{12}$.

Ответ: $(0,1x^5y^6)^2$.