Номер 534, страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 30. Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 534, страница 211.

Условие.

534. С помощью калькулятора найти корни уравнения; по теореме Виета выяснить, являются найденные значения точными или приближёнными значениями корней уравнения:

1) $x^2 + 2x - 1 = 0;$

2) $x^2 - 2x - 2 = 0;$

3) $x^2 + 1,8x - 28,35 = 0;$

4) $x^2 - 39x - 1026 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $x^2+2x-1=0$
Решим уравнение с помощью формулы корней для квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$. Здесь $a=1$, $b=2$, $c=-1$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.
Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2}$.
Так как $D=8$ не является полным квадратом, корни уравнения иррациональны. С помощью калькулятора находим их приближенные значения:
$x_1 = -1 + \sqrt{2} \approx 0,4142$
$x_2 = -1 - \sqrt{2} \approx -2,4142$
Теперь применим теорему Виета для проверки. Для приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ должны выполняться равенства: $x_1+x_2=-p$ и $x_1 \cdot x_2=q$.
В нашем уравнении $p=2$, $q=-1$. Таким образом, должно быть $x_1+x_2=-2$ и $x_1 \cdot x_2=-1$.
Проверим сумму найденных корней: $0,4142 + (-2,4142) = -2$. Это равенство выполняется.
Проверим произведение: $0,4142 \cdot (-2,4142) = -0,99996164$. Это значение не равно в точности $-1$.
Расхождение возникает из-за округления иррациональных корней. Следовательно, найденные на калькуляторе значения являются приближенными.
Ответ: найденные значения являются приближенными; $x_1 \approx 0,414, x_2 \approx -2,414$.

2) $x^2-2x-2=0$
Решим уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=-2$, $c=-2$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.
Корни уравнения: $x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.
Так как $D=12$ не является полным квадратом, корни иррациональны. С помощью калькулятора найдем их приближенные значения:
$x_1 = 1 + \sqrt{3} \approx 2,732$
$x_2 = 1 - \sqrt{3} \approx -0,732$
По теореме Виета для данного уравнения ($p=-2, q=-2$) должно быть: $x_1+x_2 = -(-2) = 2$ и $x_1 \cdot x_2 = -2$.
Проверим сумму: $2,732 + (-0,732) = 2$. Равенство выполняется.
Проверим произведение: $2,732 \cdot (-0,732) = -1,999824$. Это значение близко, но не равно в точности $-2$.
Следовательно, найденные значения являются приближенными.
Ответ: найденные значения являются приближенными; $x_1 \approx 2,732, x_2 \approx -0,732$.

3) $x^2+1,8x-28,35=0$
Решим уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=1,8$, $c=-28,35$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (1,8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28,35) = 3,24 + 113,4 = 116,64$.
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{116,64} = 10,8$. Так как корень извлекается точно, корни уравнения будут рациональными.
Найдем корни с помощью калькулятора:
$x_1 = \frac{-1,8 + 10,8}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$.
$x_2 = \frac{-1,8 - 10,8}{2} = \frac{-12,6}{2} = -6,3$.
Проверим по теореме Виета. Для нашего уравнения $p=1,8$, $q=-28,35$, поэтому должно быть $x_1+x_2 = -1,8$ и $x_1 \cdot x_2 = -28,35$.
Проверка суммы: $4,5 + (-6,3) = -1,8$. Равенство выполняется точно.
Проверка произведения: $4,5 \cdot (-6,3) = -28,35$. Равенство выполняется точно.
Так как оба соотношения выполняются точно, найденные значения являются точными корнями.
Ответ: найденные значения $x_1=4,5, x_2=-6,3$ являются точными.

4) $x^2-39x-1026=0$
Решим уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=-39$, $c=-1026$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-39)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1026) = 1521 + 4104 = 5625$.
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{5625} = 75$. Так как корень извлекается точно, корни уравнения будут целыми числами.
Найдем корни с помощью калькулятора:
$x_1 = \frac{-(-39) + 75}{2} = \frac{114}{2} = 57$.
$x_2 = \frac{-(-39) - 75}{2} = \frac{-36}{2} = -18$.
Проверим по теореме Виета. Для нашего уравнения $p=-39$, $q=-1026$, поэтому должно быть $x_1+x_2 = -(-39) = 39$ и $x_1 \cdot x_2 = -1026$.
Проверка суммы: $57 + (-18) = 39$. Равенство выполняется точно.
Проверка произведения: $57 \cdot (-18) = -1026$. Равенство выполняется точно.
Так как оба соотношения выполняются точно, найденные значения являются точными корнями.
Ответ: найденные значения $x_1=57, x_2=-18$ являются точными.