Номер 528, страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 30. Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 528, страница 211.

Условие.

528. Сократить дробь:

1) $\frac{x^2 + 6x - 7}{x^2 - 7x + 6}$,$

2) $\frac{x^2 - 8x - 9}{x^2 + 9x + 8}$,$

3) $\frac{x^2 - 8x + 15}{-x^2 + 5x - 6}$,$

4) $\frac{36 + 5x - x^2}{x^2 - x - 20}$.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 + 6x - 7}{x^2 - 7x + 6}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель. Квадратный трехчлен $ax^2+bx+c$ раскладывается на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ – корни уравнения $ax^2+bx+c=0$.

Разложим на множители числитель $x^2 + 6x - 7$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 6x - 7 = 0$.

Используя теорему Виета, найдем корни: сумма корней $x_1 + x_2 = -6$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -7$. Легко подобрать, что корнями являются числа $x_1=1$ и $x_2=-7$.

Следовательно, разложение числителя имеет вид: $x^2 + 6x - 7 = (x - 1)(x - (-7)) = (x - 1)(x + 7)$.

Теперь разложим на множители знаменатель $x^2 - 7x + 6$. Найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 7$ и $x_1 \cdot x_2 = 6$. Корнями являются числа $x_1=1$ и $x_2=6$.

Следовательно, разложение знаменателя: $x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6)$.

Подставим полученные разложения в исходную дробь:

$\frac{x^2 + 6x - 7}{x^2 - 7x + 6} = \frac{(x - 1)(x + 7)}{(x - 1)(x - 6)}$.

Сократим общий множитель $(x - 1)$ (при условии, что $x \neq 1$):

$\frac{(x - 1)(x + 7)}{(x - 1)(x - 6)} = \frac{x + 7}{x - 6}$.

Ответ: $\frac{x + 7}{x - 6}$.

2) Сократим дробь $\frac{x^2 - 8x - 9}{x^2 + 9x + 8}$.

Разложим на множители числитель $x^2 - 8x - 9$. Корни уравнения $x^2 - 8x - 9 = 0$ по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 8$, $x_1 \cdot x_2 = -9$. Корни равны $x_1=9$ и $x_2=-1$.

Таким образом, $x^2 - 8x - 9 = (x - 9)(x - (-1)) = (x - 9)(x + 1)$.

Разложим на множители знаменатель $x^2 + 9x + 8$. Корни уравнения $x^2 + 9x + 8 = 0$ по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -9$, $x_1 \cdot x_2 = 8$. Корни равны $x_1=-1$ и $x_2=-8$.

Таким образом, $x^2 + 9x + 8 = (x - (-1))(x - (-8)) = (x + 1)(x + 8)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{x^2 - 8x - 9}{x^2 + 9x + 8} = \frac{(x - 9)(x + 1)}{(x + 1)(x + 8)}$.

Сократим общий множитель $(x + 1)$ (при условии, что $x \neq -1$):

$\frac{(x - 9)(x + 1)}{(x + 1)(x + 8)} = \frac{x - 9}{x + 8}$.

Ответ: $\frac{x - 9}{x + 8}$.

3) Сократим дробь $\frac{x^2 - 8x + 15}{-x^2 + 5x - 6}$.

Разложим на множители числитель $x^2 - 8x + 15$. Корни уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$ по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 8$, $x_1 \cdot x_2 = 15$. Корни равны $x_1=3$ и $x_2=5$.

Значит, $x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5)$.

Разложим на множители знаменатель $-x^2 + 5x - 6$. Сначала вынесем $-1$ за скобки: $-(x^2 - 5x + 6)$.

Теперь найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 5$, $x_1 \cdot x_2 = 6$. Корни равны $x_1=2$ и $x_2=3$.

Значит, $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Тогда знаменатель равен $-(x - 2)(x - 3)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{x^2 - 8x + 15}{-x^2 + 5x - 6} = \frac{(x - 3)(x - 5)}{-(x - 2)(x - 3)}$.

Сократим общий множитель $(x - 3)$ (при условии, что $x \neq 3$):

$\frac{(x - 3)(x - 5)}{-(x - 2)(x - 3)} = \frac{x - 5}{-(x - 2)} = -\frac{x - 5}{x - 2} = \frac{5 - x}{x - 2}$.

Ответ: $-\frac{x - 5}{x - 2}$ или $\frac{5 - x}{x - 2}$.

4) Сократим дробь $\frac{36 + 5x - x^2}{x^2 - x - 20}$.

Разложим на множители числитель $36 + 5x - x^2$. Перепишем его в стандартном виде: $-x^2 + 5x + 36$.

Вынесем $-1$ за скобки: $-(x^2 - 5x - 36)$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 36 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 5$, $x_1 \cdot x_2 = -36$. Корни равны $x_1=9$ и $x_2=-4$.

Следовательно, $x^2 - 5x - 36 = (x - 9)(x - (-4)) = (x - 9)(x + 4)$.

Тогда числитель равен $-(x - 9)(x + 4)$.

Теперь разложим на множители знаменатель $x^2 - x - 20$. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 20 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -20$. Корни равны $x_1=5$ и $x_2=-4$.

Следовательно, $x^2 - x - 20 = (x - 5)(x - (-4)) = (x - 5)(x + 4)$.

Подставим разложения в исходную дробь:

$\frac{36 + 5x - x^2}{x^2 - x - 20} = \frac{-(x - 9)(x + 4)}{(x - 5)(x + 4)}$.

Сократим общий множитель $(x + 4)$ (при условии, что $x \neq -4$):

$\frac{-(x - 9)(x + 4)}{(x - 5)(x + 4)} = \frac{-(x - 9)}{x - 5} = \frac{9 - x}{x - 5}$.

Ответ: $\frac{9 - x}{x - 5}$.