Номер 522, страница 210 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 30. Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 522, страница 210.

Условие.

522. Записать приведённое квадратное уравнение, имеющее корни $x_1$ и $x_2$:

1) $x_1 = 3, x_2 = -1;$

2) $x_1 = 2, x_2 = 3;$

3) $x_1 = -4, x_2 = -5;$

4) $x_1 = -3, x_2 = 6.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для составления приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ по его известным корням $x_1$ и $x_2$ используется теорема, обратная теореме Виета. Согласно ей, коэффициенты уравнения связаны с корнями следующими соотношениями:
Сумма корней равна второму коэффициенту $p$, взятому с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -p$.
Произведение корней равно свободному члену $q$: $x_1 \cdot x_2 = q$.
Таким образом, зная корни, можно найти коэффициенты $p = -(x_1 + x_2)$ и $q = x_1 \cdot x_2$ и подставить их в уравнение. Уравнение можно записать в виде: $x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0$.

1) Даны корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$.
Вычислим сумму и произведение корней:
$x_1 + x_2 = 3 + (-1) = 2$
$x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot (-1) = -3$
Подставим эти значения в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0$:
$x^2 - (2)x + (-3) = 0$
Искомое уравнение: $x^2 - 2x - 3 = 0$.
Ответ: $x^2 - 2x - 3 = 0$.

2) Даны корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.
Вычислим сумму и произведение корней:
$x_1 + x_2 = 2 + 3 = 5$
$x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 3 = 6$
Подставим полученные значения в формулу:
$x^2 - (5)x + (6) = 0$
Искомое уравнение: $x^2 - 5x + 6 = 0$.
Ответ: $x^2 - 5x + 6 = 0$.

3) Даны корни: $x_1 = -4$, $x_2 = -5$.
Вычислим сумму и произведение корней:
$x_1 + x_2 = -4 + (-5) = -9$
$x_1 \cdot x_2 = (-4) \cdot (-5) = 20$
Подставим полученные значения в формулу:
$x^2 - (-9)x + (20) = 0$
Искомое уравнение: $x^2 + 9x + 20 = 0$.
Ответ: $x^2 + 9x + 20 = 0$.

4) Даны корни: $x_1 = -3$, $x_2 = 6$.
Вычислим сумму и произведение корней:
$x_1 + x_2 = -3 + 6 = 3$
$x_1 \cdot x_2 = (-3) \cdot 6 = -18$
Подставим полученные значения в формулу:
$x^2 - (3)x + (-18) = 0$
Искомое уравнение: $x^2 - 3x - 18 = 0$.
Ответ: $x^2 - 3x - 18 = 0$.