Номер 524, страница 210 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 30. Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 524, страница 210.

Условие.

524. Квадратный трёхчлен разложить на множители:

1) $x^2 - 5x + 6;$

2) $x^2 + 4x - 5;$

3) $x^2 + 5x - 24;$

4) $x^2 + x - 42;$

5) $2x^2 - x - 1;$

6) $8x^2 + 10x + 3;$

7) $-6x^2 + 7x - 2;$

8) $-4x^2 - 7x + 2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для разложения квадратного трёхчлена вида $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Корни находятся с помощью дискриминанта по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

1) $x^2 - 5x + 6$

Приравняем трёхчлен к нулю, чтобы найти его корни: $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Здесь коэффициенты $a=1$, $b=-5$, $c=6$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

Найдём корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2}$.

$x_1 = \frac{5+1}{2} = 3$, $x_2 = \frac{5-1}{2} = 2$.

Подставляем корни в формулу разложения: $a(x-x_1)(x-x_2) = 1 \cdot (x-3)(x-2) = (x-2)(x-3)$.

Ответ: $(x-2)(x-3)$.

2) $x^2 + 4x - 5$

Найдём корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=4$, $c=-5$.

Дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 6}{2}$.

$x_1 = \frac{-4+6}{2} = 1$, $x_2 = \frac{-4-6}{2} = -5$.

Разложение: $1 \cdot (x-1)(x-(-5)) = (x-1)(x+5)$.

Ответ: $(x-1)(x+5)$.

3) $x^2 + 5x - 24$

Найдём корни уравнения $x^2 + 5x - 24 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=5$, $c=-24$.

Дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm 11}{2}$.

$x_1 = \frac{-5+11}{2} = 3$, $x_2 = \frac{-5-11}{2} = -8$.

Разложение: $1 \cdot (x-3)(x-(-8)) = (x-3)(x+8)$.

Ответ: $(x-3)(x+8)$.

4) $x^2 + x - 42$

Найдём корни уравнения $x^2 + x - 42 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=1$, $c=-42$.

Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 13}{2}$.

$x_1 = \frac{-1+13}{2} = 6$, $x_2 = \frac{-1-13}{2} = -7$.

Разложение: $1 \cdot (x-6)(x-(-7)) = (x-6)(x+7)$.

Ответ: $(x-6)(x+7)$.

5) $2x^2 - x - 1$

Найдём корни уравнения $2x^2 - x - 1 = 0$.

Коэффициенты: $a=2$, $b=-1$, $c=-1$.

Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4}$.

$x_1 = \frac{1+3}{4} = 1$, $x_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2}$.

Разложение: $2(x-1)(x-(-\frac{1}{2})) = 2(x-1)(x+\frac{1}{2}) = (x-1)(2(x+\frac{1}{2})) = (x-1)(2x+1)$.

Ответ: $(x-1)(2x+1)$.

6) $8x^2 + 10x + 3$

Найдём корни уравнения $8x^2 + 10x + 3 = 0$.

Коэффициенты: $a=8$, $b=10$, $c=3$.

Дискриминант: $D = 10^2 - 4 \cdot 8 \cdot 3 = 100 - 96 = 4$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 8} = \frac{-10 \pm 2}{16}$.

$x_1 = \frac{-10+2}{16} = -\frac{8}{16} = -\frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{-10-2}{16} = -\frac{12}{16} = -\frac{3}{4}$.

Разложение: $8(x-(-\frac{1}{2}))(x-(-\frac{3}{4})) = 8(x+\frac{1}{2})(x+\frac{3}{4}) = (2(x+\frac{1}{2}))(4(x+\frac{3}{4})) = (2x+1)(4x+3)$.

Ответ: $(2x+1)(4x+3)$.

7) $-6x^2 + 7x - 2$

Найдём корни уравнения $-6x^2 + 7x - 2 = 0$.

Коэффициенты: $a=-6$, $b=7$, $c=-2$.

Дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot (-6) \cdot (-2) = 49 - 48 = 1$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot (-6)} = \frac{-7 \pm 1}{-12}$.

$x_1 = \frac{-7+1}{-12} = \frac{-6}{-12} = \frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{-7-1}{-12} = \frac{-8}{-12} = \frac{2}{3}$.

Разложение: $-6(x-\frac{1}{2})(x-\frac{2}{3}) = (-2 \cdot (x-\frac{1}{2})) \cdot (3 \cdot (x-\frac{2}{3})) = (-2x+1)(3x-2) = (1-2x)(3x-2)$.

Ответ: $(1-2x)(3x-2)$.

8) $-4x^2 - 7x + 2$

Найдём корни уравнения $-4x^2 - 7x + 2 = 0$.

Коэффициенты: $a=-4$, $b=-7$, $c=2$.

Дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot (-4) \cdot 2 = 49 + 32 = 81$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot (-4)} = \frac{7 \pm 9}{-8}$.

$x_1 = \frac{7+9}{-8} = \frac{16}{-8} = -2$, $x_2 = \frac{7-9}{-8} = \frac{-2}{-8} = \frac{1}{4}$.

Разложение: $-4(x-(-2))(x-\frac{1}{4}) = -4(x+2)(x-\frac{1}{4}) = (x+2)(-4 \cdot (x-\frac{1}{4})) = (x+2)(-4x+1) = (x+2)(1-4x)$.

Ответ: $(x+2)(1-4x)$.