Номер 523, страница 210 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 30. Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 523, страница 210.

Условие.

523. Подбором найти корни уравнения:

1) $x^2 + 5x + 6 = 0$;

2) $x^2 - 7x + 12 = 0$;

3) $x^2 - 6x + 5 = 0$;

4) $x^2 + 8x + 7 = 0$;

5) $x^2 - 8x + 15 = 0$;

6) $x^2 + 2x - 15 = 0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения данных квадратных уравнений методом подбора удобно использовать теорему, обратную теореме Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, если существуют числа $x_1$ и $x_2$ такие, что их сумма равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком ($-p$), а их произведение равно свободному члену ($q$), то эти числа являются корнями уравнения.

Система уравнений для корней:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

1) $x^2 + 5x + 6 = 0$

В этом уравнении $p=5$ и $q=6$. Ищем два числа, произведение которых равно 6, а сумма равна -5.

Рассмотрим делители числа 6: 1, 2, 3, 6 и их противоположности -1, -2, -3, -6.
Поскольку произведение корней ($q=6$) положительно, а сумма ($-p=-5$) отрицательна, оба корня должны быть отрицательными.
Подбираем пары отрицательных делителей: $(-1) \cdot (-6) = 6$, но $(-1) + (-6) = -7$ (не подходит).
$(-2) \cdot (-3) = 6$ и $(-2) + (-3) = -5$ (подходит).
Следовательно, корни уравнения: $x_1 = -2$, $x_2 = -3$.

Ответ: -3; -2.

2) $x^2 - 7x + 12 = 0$

Здесь $p=-7$ и $q=12$. Ищем два числа, произведение которых равно 12, а сумма равна $-(-7)=7$.

Рассмотрим делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Поскольку и произведение ($q=12$), и сумма ($-p=7$) положительны, оба корня должны быть положительными.
Подбираем пары положительных делителей: $1 \cdot 12 = 12$, но $1+12=13$ (не подходит).
$2 \cdot 6 = 12$, но $2+6=8$ (не подходит).
$3 \cdot 4 = 12$ и $3+4=7$ (подходит).
Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = 4$.

Ответ: 3; 4.

3) $x^2 - 6x + 5 = 0$

Здесь $p=-6$ и $q=5$. Ищем два числа, произведение которых равно 5, а сумма равна $-(-6)=6$.

Делители числа 5: 1, 5.
Поскольку и произведение ($q=5$), и сумма ($-p=6$) положительны, оба корня должны быть положительными.
$1 \cdot 5 = 5$ и $1+5=6$ (подходит).
Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Ответ: 1; 5.

4) $x^2 + 8x + 7 = 0$

Здесь $p=8$ и $q=7$. Ищем два числа, произведение которых равно 7, а сумма равна -8.

Делители числа 7: 1, 7 и -1, -7.
Поскольку произведение ($q=7$) положительно, а сумма ($-p=-8$) отрицательна, оба корня должны быть отрицательными.
$(-1) \cdot (-7) = 7$ и $(-1) + (-7) = -8$ (подходит).
Следовательно, корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = -7$.

Ответ: -7; -1.

5) $x^2 - 8x + 15 = 0$

Здесь $p=-8$ и $q=15$. Ищем два числа, произведение которых равно 15, а сумма равна $-(-8)=8$.

Делители числа 15: 1, 3, 5, 15.
Поскольку и произведение ($q=15$), и сумма ($-p=8$) положительны, оба корня должны быть положительными.
Подбираем пары: $1 \cdot 15 = 15$, но $1+15=16$ (не подходит).
$3 \cdot 5 = 15$ и $3+5=8$ (подходит).
Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = 5$.

Ответ: 3; 5.

6) $x^2 + 2x - 15 = 0$

Здесь $p=2$ и $q=-15$. Ищем два числа, произведение которых равно -15, а сумма равна -2.

Делители числа 15: 1, 3, 5, 15.
Поскольку произведение ($q=-15$) отрицательно, корни должны иметь разные знаки.
Поскольку сумма ($-p=-2$) отрицательна, модуль отрицательного корня должен быть больше модуля положительного.
Подбираем пары делителей с разными знаками: $1 \cdot (-15) = -15$, но $1+(-15)=-14$ (не подходит).
$3 \cdot (-5) = -15$ и $3+(-5)=-2$ (подходит).
Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = -5$.

Ответ: -5; 3.