Страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

525. Сократить дробь:

1) $ \frac{x^2 + x - 2}{x - 1} $;

2) $ \frac{x^2 + 4x - 12}{x - 2} $;

3) $ \frac{x + 3}{x^2 - 6x - 27} $;

4) $ \frac{x - 8}{x^2 - x - 56} $;

5) $ \frac{2x^2 - 3x - 2}{4x^2 - 1} $;

6) $ \frac{3x^2 + 8x - 3}{9x^2 - 1} $.

1) Чтобы сократить дробь $ \frac{x^2 + x - 2}{x - 1} $, необходимо разложить числитель на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения $ x^2 + x - 2 = 0 $.
Используем теорему Виета:

• Сумма корней: $ x_1 + x_2 = -1 $
• Произведение корней: $ x_1 \cdot x_2 = -2 $

Подбором находим корни: $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = -2 $.
Формула разложения квадратного трехчлена на множители: $ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) $.
В нашем случае $ a=1 $, поэтому $ x^2 + x - 2 = (x - 1)(x - (-2)) = (x - 1)(x + 2) $.
Теперь подставим разложение в исходную дробь:
$ \frac{(x - 1)(x + 2)}{x - 1} $
Сокращаем общий множитель $ (x - 1) $ (при условии, что $ x - 1 \neq 0 $, то есть $ x \neq 1 $):
$ x + 2 $
Ответ: $ x + 2 $

2) Сократим дробь $ \frac{x^2 + 4x - 12}{x - 2} $. Разложим числитель $ x^2 + 4x - 12 $ на множители, решив уравнение $ x^2 + 4x - 12 = 0 $.
По теореме Виета:

• $ x_1 + x_2 = -4 $
• $ x_1 \cdot x_2 = -12 $

Корни уравнения: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = -6 $.
Разложение на множители: $ x^2 + 4x - 12 = (x - 2)(x - (-6)) = (x - 2)(x + 6) $.
Подставим в дробь:
$ \frac{(x - 2)(x + 6)}{x - 2} $
Сократим на $ (x - 2) $ (при $ x \neq 2 $):
$ x + 6 $
Ответ: $ x + 6 $

3) Сократим дробь $ \frac{x + 3}{x^2 - 6x - 27} $. Разложим на множители знаменатель $ x^2 - 6x - 27 $.
Решим уравнение $ x^2 - 6x - 27 = 0 $ с помощью дискриминанта.
$ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 = 12^2 $.
Корни: $ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 12}{2} = 9 $; $ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 12}{2} = -3 $.
Разложение знаменателя: $ x^2 - 6x - 27 = (x - 9)(x - (-3)) = (x - 9)(x + 3) $.
Подставим в дробь:
$ \frac{x + 3}{(x - 9)(x + 3)} $
Сократим на $ (x + 3) $ (при $ x \neq -3 $):
$ \frac{1}{x - 9} $
Ответ: $ \frac{1}{x - 9} $

4) Сократим дробь $ \frac{x - 8}{x^2 - x - 56} $. Разложим знаменатель $ x^2 - x - 56 $ на множители.
Решим уравнение $ x^2 - x - 56 = 0 $.
По теореме Виета:

• $ x_1 + x_2 = 1 $
• $ x_1 \cdot x_2 = -56 $

Корни уравнения: $ x_1 = 8 $ и $ x_2 = -7 $.
Разложение знаменателя: $ x^2 - x - 56 = (x - 8)(x - (-7)) = (x - 8)(x + 7) $.
Подставим в дробь:
$ \frac{x - 8}{(x - 8)(x + 7)} $
Сократим на $ (x - 8) $ (при $ x \neq 8 $):
$ \frac{1}{x + 7} $
Ответ: $ \frac{1}{x + 7} $

5) Сократим дробь $ \frac{2x^2 - 3x - 2}{4x^2 - 1} $. Разложим на множители числитель и знаменатель.
Для числителя решим уравнение $ 2x^2 - 3x - 2 = 0 $.
$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2 $.
Корни: $ x_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2 $; $ x_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2} $.
Разложение числителя: $ 2x^2 - 3x - 2 = 2(x - 2)(x + \frac{1}{2}) = (x - 2)(2x + 1) $.
Знаменатель $ 4x^2 - 1 $ является разностью квадратов $ (2x)^2 - 1^2 $.
Разложение знаменателя: $ (2x - 1)(2x + 1) $.
Подставим разложения в дробь:
$ \frac{(x - 2)(2x + 1)}{(2x - 1)(2x + 1)} $
Сократим на $ (2x + 1) $ (при $ x \neq -\frac{1}{2} $):
$ \frac{x - 2}{2x - 1} $
Ответ: $ \frac{x - 2}{2x - 1} $

6) Сократим дробь $ \frac{3x^2 + 8x - 3}{9x^2 - 1} $. Разложим числитель и знаменатель на множители.
Для числителя решим уравнение $ 3x^2 + 8x - 3 = 0 $.
$ D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2 $.
Корни: $ x_1 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $; $ x_2 = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3 $.
Разложение числителя: $ 3x^2 + 8x - 3 = 3(x - \frac{1}{3})(x + 3) = (3x - 1)(x + 3) $.
Знаменатель $ 9x^2 - 1 $ является разностью квадратов $ (3x)^2 - 1^2 $.
Разложение знаменателя: $ (3x - 1)(3x + 1) $.
Подставим разложения в дробь:
$ \frac{(3x - 1)(x + 3)}{(3x - 1)(3x + 1)} $
Сократим на $ (3x - 1) $ (при $ x \neq \frac{1}{3} $):
$ \frac{x + 3}{3x + 1} $
Ответ: $ \frac{x + 3}{3x + 1} $

526. Решить приведённое квадратное уравнение:

1) $x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0;$

2) $x^2 - 2\sqrt{5}x + 1 = 0;$

3) $x^2 + \sqrt{2}x - 4 = 0;$

4) $x^2 - 4\sqrt{7}x + 4 = 0.$

1) $x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0$

Это приведённое квадратное уравнение вида $x^2+px+q=0$. Для его решения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения. Поскольку второй коэффициент $b = -2\sqrt{3}$ является чётным, удобно применить формулу для чётного второго коэффициента: $x_{1,2} = -k \pm \sqrt{k^2 - c}$, где $k = \frac{b}{2}$.

В данном уравнении коэффициенты: $a=1$, $b=-2\sqrt{3}$, $c=-1$.

Найдём половину второго коэффициента:

$k = \frac{-2\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}$

Теперь вычислим дискриминант (деленный на 4), $D_1 = k^2 - c$:

$D_1 = (-\sqrt{3})^2 - (-1) = 3 + 1 = 4$

Найдём корни уравнения:

$x_{1,2} = -(-\sqrt{3}) \pm \sqrt{4} = \sqrt{3} \pm 2$

Ответ: $x_1 = \sqrt{3} + 2$, $x_2 = \sqrt{3} - 2$.

2) $x^2 - 2\sqrt{5}x + 1 = 0$

Это приведённое квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом $b = -2\sqrt{5}$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-2\sqrt{5}$, $c=1$.

Найдём $k = \frac{b}{2}$:

$k = \frac{-2\sqrt{5}}{2} = -\sqrt{5}$

Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - c$:

$D_1 = (-\sqrt{5})^2 - 1 = 5 - 1 = 4$

Найдём корни по формуле $x_{1,2} = -k \pm \sqrt{D_1}$:

$x_{1,2} = -(-\sqrt{5}) \pm \sqrt{4} = \sqrt{5} \pm 2$

Ответ: $x_1 = \sqrt{5} + 2$, $x_2 = \sqrt{5} - 2$.

3) $x^2 + \sqrt{2}x - 4 = 0$

Это приведённое квадратное уравнение. Для его решения воспользуемся стандартной формулой корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=\sqrt{2}$, $c=-4$.

Вычислим дискриминант:

$D = (\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 2 + 16 = 18$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдём их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{18}}{2} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{9 \cdot 2}}{2} = \frac{-\sqrt{2} \pm 3\sqrt{2}}{2}$

Вычислим каждый корень:

$x_1 = \frac{-\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

$x_2 = \frac{-\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{2} = \frac{-4\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2}$

Ответ: $x_1 = \sqrt{2}$, $x_2 = -2\sqrt{2}$.

4) $x^2 - 4\sqrt{7}x + 4 = 0$

Данное уравнение также является приведённым квадратным с чётным вторым коэффициентом $b = -4\sqrt{7}$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-4\sqrt{7}$, $c=4$.

Найдём $k = \frac{b}{2}$:

$k = \frac{-4\sqrt{7}}{2} = -2\sqrt{7}$

Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - c$:

$D_1 = (-2\sqrt{7})^2 - 4 = (4 \cdot 7) - 4 = 28 - 4 = 24$

Найдём корни по формуле $x_{1,2} = -k \pm \sqrt{D_1}$:

$x_{1,2} = -(-2\sqrt{7}) \pm \sqrt{24} = 2\sqrt{7} \pm \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{7} \pm 2\sqrt{6}$

Ответ: $x_1 = 2\sqrt{7} + 2\sqrt{6}$, $x_2 = 2\sqrt{7} - 2\sqrt{6}$.

527. Разложить на множители:

1) $x^3 - 3x^2 + 2x$;

2) $x^3 + 4x^2 - 21x$;

3) $x^3 + 5x^2 - 24x$;

4) $x^3 - 9x^2 - 22x$.

1) Для разложения на множители выражения $x^3 - 3x^2 + 2x$ первым шагом вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 3x + 2)$
Теперь необходимо разложить на множители квадратный трехчлен $x^2 - 3x + 2$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$.
Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант. В данном случае коэффициенты: $a=1, b=-3, c=2$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = 1$
Зная корни, мы можем разложить квадратный трехчлен по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$:
$x^2 - 3x + 2 = 1 \cdot (x - 2)(x - 1) = (x - 1)(x - 2)$.
Теперь подставим полученное разложение в исходное выражение:
$x(x - 1)(x - 2)$.
Ответ: $x(x - 1)(x - 2)$

2) Разложим на множители выражение $x^3 + 4x^2 - 21x$.
Сначала вынесем общий множитель $x$:
$x(x^2 + 4x - 21)$
Далее разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + 4x - 21$. Для этого решим уравнение $x^2 + 4x - 21 = 0$.
Коэффициенты: $a=1, b=4, c=-21$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 10}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 10}{2} = -7$
Разложение квадратного трехчлена:
$x^2 + 4x - 21 = (x - 3)(x - (-7)) = (x - 3)(x + 7)$.
Полное разложение исходного выражения:
$x(x - 3)(x + 7)$.
Ответ: $x(x - 3)(x + 7)$

3) Разложим на множители выражение $x^3 + 5x^2 - 24x$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 + 5x - 24)$
Теперь разложим квадратный трехчлен $x^2 + 5x - 24$, найдя корни уравнения $x^2 + 5x - 24 = 0$.
Коэффициенты: $a=1, b=5, c=-24$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 11}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 11}{2} = -8$
Разложение квадратного трехчлена:
$x^2 + 5x - 24 = (x - 3)(x - (-8)) = (x - 3)(x + 8)$.
Полное разложение исходного выражения:
$x(x - 3)(x + 8)$.
Ответ: $x(x - 3)(x + 8)$

4) Разложим на множители выражение $x^3 - 9x^2 - 22x$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 9x - 22)$
Теперь разложим квадратный трехчлен $x^2 - 9x - 22$, найдя корни уравнения $x^2 - 9x - 22 = 0$.
Коэффициенты: $a=1, b=-9, c=-22$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-9) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 13}{2} = 11$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-9) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 13}{2} = -2$
Разложение квадратного трехчлена:
$x^2 - 9x - 22 = (x - 11)(x - (-2)) = (x - 11)(x + 2)$.
Полное разложение исходного выражения:
$x(x - 11)(x + 2)$.
Ответ: $x(x - 11)(x + 2)$

528. Сократить дробь:

1) $\frac{x^2 + 6x - 7}{x^2 - 7x + 6}$,$

2) $\frac{x^2 - 8x - 9}{x^2 + 9x + 8}$,$

3) $\frac{x^2 - 8x + 15}{-x^2 + 5x - 6}$,$

4) $\frac{36 + 5x - x^2}{x^2 - x - 20}$.$

1) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 + 6x - 7}{x^2 - 7x + 6}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель. Квадратный трехчлен $ax^2+bx+c$ раскладывается на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ – корни уравнения $ax^2+bx+c=0$.

Разложим на множители числитель $x^2 + 6x - 7$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 6x - 7 = 0$.

Используя теорему Виета, найдем корни: сумма корней $x_1 + x_2 = -6$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -7$. Легко подобрать, что корнями являются числа $x_1=1$ и $x_2=-7$.

Следовательно, разложение числителя имеет вид: $x^2 + 6x - 7 = (x - 1)(x - (-7)) = (x - 1)(x + 7)$.

Теперь разложим на множители знаменатель $x^2 - 7x + 6$. Найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 7$ и $x_1 \cdot x_2 = 6$. Корнями являются числа $x_1=1$ и $x_2=6$.

Следовательно, разложение знаменателя: $x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6)$.

Подставим полученные разложения в исходную дробь:

$\frac{x^2 + 6x - 7}{x^2 - 7x + 6} = \frac{(x - 1)(x + 7)}{(x - 1)(x - 6)}$.

Сократим общий множитель $(x - 1)$ (при условии, что $x \neq 1$):

$\frac{(x - 1)(x + 7)}{(x - 1)(x - 6)} = \frac{x + 7}{x - 6}$.

Ответ: $\frac{x + 7}{x - 6}$.

2) Сократим дробь $\frac{x^2 - 8x - 9}{x^2 + 9x + 8}$.

Разложим на множители числитель $x^2 - 8x - 9$. Корни уравнения $x^2 - 8x - 9 = 0$ по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 8$, $x_1 \cdot x_2 = -9$. Корни равны $x_1=9$ и $x_2=-1$.

Таким образом, $x^2 - 8x - 9 = (x - 9)(x - (-1)) = (x - 9)(x + 1)$.

Разложим на множители знаменатель $x^2 + 9x + 8$. Корни уравнения $x^2 + 9x + 8 = 0$ по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -9$, $x_1 \cdot x_2 = 8$. Корни равны $x_1=-1$ и $x_2=-8$.

Таким образом, $x^2 + 9x + 8 = (x - (-1))(x - (-8)) = (x + 1)(x + 8)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{x^2 - 8x - 9}{x^2 + 9x + 8} = \frac{(x - 9)(x + 1)}{(x + 1)(x + 8)}$.

Сократим общий множитель $(x + 1)$ (при условии, что $x \neq -1$):

$\frac{(x - 9)(x + 1)}{(x + 1)(x + 8)} = \frac{x - 9}{x + 8}$.

Ответ: $\frac{x - 9}{x + 8}$.

3) Сократим дробь $\frac{x^2 - 8x + 15}{-x^2 + 5x - 6}$.

Разложим на множители числитель $x^2 - 8x + 15$. Корни уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$ по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 8$, $x_1 \cdot x_2 = 15$. Корни равны $x_1=3$ и $x_2=5$.

Значит, $x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5)$.

Разложим на множители знаменатель $-x^2 + 5x - 6$. Сначала вынесем $-1$ за скобки: $-(x^2 - 5x + 6)$.

Теперь найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 5$, $x_1 \cdot x_2 = 6$. Корни равны $x_1=2$ и $x_2=3$.

Значит, $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Тогда знаменатель равен $-(x - 2)(x - 3)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{x^2 - 8x + 15}{-x^2 + 5x - 6} = \frac{(x - 3)(x - 5)}{-(x - 2)(x - 3)}$.

Сократим общий множитель $(x - 3)$ (при условии, что $x \neq 3$):

$\frac{(x - 3)(x - 5)}{-(x - 2)(x - 3)} = \frac{x - 5}{-(x - 2)} = -\frac{x - 5}{x - 2} = \frac{5 - x}{x - 2}$.

Ответ: $-\frac{x - 5}{x - 2}$ или $\frac{5 - x}{x - 2}$.

4) Сократим дробь $\frac{36 + 5x - x^2}{x^2 - x - 20}$.

Разложим на множители числитель $36 + 5x - x^2$. Перепишем его в стандартном виде: $-x^2 + 5x + 36$.

Вынесем $-1$ за скобки: $-(x^2 - 5x - 36)$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 36 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 5$, $x_1 \cdot x_2 = -36$. Корни равны $x_1=9$ и $x_2=-4$.

Следовательно, $x^2 - 5x - 36 = (x - 9)(x - (-4)) = (x - 9)(x + 4)$.

Тогда числитель равен $-(x - 9)(x + 4)$.

Теперь разложим на множители знаменатель $x^2 - x - 20$. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 20 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -20$. Корни равны $x_1=5$ и $x_2=-4$.

Следовательно, $x^2 - x - 20 = (x - 5)(x - (-4)) = (x - 5)(x + 4)$.

Подставим разложения в исходную дробь:

$\frac{36 + 5x - x^2}{x^2 - x - 20} = \frac{-(x - 9)(x + 4)}{(x - 5)(x + 4)}$.

Сократим общий множитель $(x + 4)$ (при условии, что $x \neq -4$):

$\frac{-(x - 9)(x + 4)}{(x - 5)(x + 4)} = \frac{-(x - 9)}{x - 5} = \frac{9 - x}{x - 5}$.

Ответ: $\frac{9 - x}{x - 5}$.

529. Упростить:

1) $ \frac{1}{x^2 - 7x + 12} + \frac{1}{x - 3}; $

2) $ \frac{3}{x^2 + 6x + 9} - \frac{1}{x + 3}; $

3) $ \frac{7}{5x^2 + 3x - 2} - \frac{5}{5x - 2}; $

4) $ \frac{5x + 1}{x^2 + 9x - 10} : \frac{5x^2 + x}{x^2 - 2x + 1}. $

1)Чтобы упростить выражение $ \frac{1}{x^2 - 7x + 12} + \frac{1}{x-3} $, сначала разложим на множители знаменатель первой дроби.
Квадратный трехчлен $x^2 - 7x + 12$ можно разложить, найдя корни уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Корнями являются числа 3 и 4.
Следовательно, $x^2 - 7x + 12 = (x-3)(x-4)$.
Теперь выражение имеет вид:
$ \frac{1}{(x-3)(x-4)} + \frac{1}{x-3} $
Приведем дроби к общему знаменателю $(x-3)(x-4)$. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(x-4)$:
$ \frac{1}{(x-3)(x-4)} + \frac{1 \cdot (x-4)}{(x-3)(x-4)} = \frac{1 + (x-4)}{(x-3)(x-4)} $
Упростим числитель:
$ \frac{1 + x - 4}{(x-3)(x-4)} = \frac{x-3}{(x-3)(x-4)} $
Сократим дробь на общий множитель $(x-3)$:
$ \frac{1}{x-4} $
Ответ: $ \frac{1}{x-4} $.

2)Чтобы упростить выражение $ \frac{3}{x^2 + 6x + 9} - \frac{1}{x+3} $, заметим, что знаменатель первой дроби является полным квадратом.
$x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2$.
Подставим это в выражение:
$ \frac{3}{(x+3)^2} - \frac{1}{x+3} $
Общим знаменателем является $(x+3)^2$. Домножим вторую дробь на $(x+3)$:
$ \frac{3}{(x+3)^2} - \frac{1 \cdot (x+3)}{(x+3)^2} = \frac{3 - (x+3)}{(x+3)^2} $
Раскроем скобки в числителе и упростим:
$ \frac{3 - x - 3}{(x+3)^2} = \frac{-x}{(x+3)^2} $
Ответ: $ -\frac{x}{(x+3)^2} $.

3)Чтобы упростить выражение $ \frac{7}{5x^2 + 3x - 2} - \frac{5}{5x-2} $, разложим на множители знаменатель первой дроби.
Найдем корни квадратного уравнения $5x^2 + 3x - 2 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Разложение имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$:
$5x^2 + 3x - 2 = 5(x - (-1))(x - \frac{2}{5}) = 5(x+1)(x - \frac{2}{5}) = (x+1)(5x-2)$.
Выражение принимает вид:
$ \frac{7}{(x+1)(5x-2)} - \frac{5}{5x-2} $
Общий знаменатель — $(x+1)(5x-2)$. Домножим вторую дробь на $(x+1)$:
$ \frac{7}{(x+1)(5x-2)} - \frac{5(x+1)}{(x+1)(5x-2)} = \frac{7 - 5(x+1)}{(x+1)(5x-2)} $
Упростим числитель:
$ \frac{7 - 5x - 5}{(x+1)(5x-2)} = \frac{2 - 5x}{(x+1)(5x-2)} $
Вынесем в числителе знак минус за скобку: $2-5x = -(5x-2)$.
$ \frac{-(5x-2)}{(x+1)(5x-2)} $
Сократим дробь на $(5x-2)$:
$ \frac{-1}{x+1} $
Ответ: $ -\frac{1}{x+1} $.

4)Упростим выражение $ \frac{5x+1}{x^2+9x-10} \cdot \frac{5x^2+x}{x^2-2x+1} $. (Примечание: в условии задачи знак может быть похож на деление, но стандартно `·` означает умножение. Если бы это было деление, ответ был бы другим).
Разложим на множители многочлены в числителях и знаменателях.
1. $x^2+9x-10$: по теореме Виета корни $x_1 = 1, x_2 = -10$. Разложение: $(x-1)(x+10)$.
2. $5x^2+x$: выносим общий множитель $x$. Разложение: $x(5x+1)$.
3. $x^2-2x+1$: формула квадрата разности. Разложение: $(x-1)^2$.
Подставим разложения в исходное выражение:
$ \frac{5x+1}{(x-1)(x+10)} \cdot \frac{x(5x+1)}{(x-1)^2} $
Перемножим числители и знаменатели:
$ \frac{(5x+1) \cdot x(5x+1)}{(x-1)(x+10) \cdot (x-1)^2} = \frac{x(5x+1)^2}{(x+10)(x-1)^3} $
В данном выражении дальнейшие сокращения невозможны.
Альтернативное решение (если в условии деление):
$ \frac{5x+1}{x^2+9x-10} : \frac{5x^2+x}{x^2-2x+1} = \frac{5x+1}{(x-1)(x+10)} \cdot \frac{(x-1)^2}{x(5x+1)} $
Сокращаем общие множители $(5x+1)$ и $(x-1)$:
$ \frac{\cancel{5x+1}}{\cancel{(x-1)}(x+10)} \cdot \frac{(x-1)^{\cancel{2}}}{x(\cancel{5x+1})} = \frac{x-1}{x(x+10)} $
Этот результат выглядит более простым, что часто ожидается в подобных задачах. Исходя из контекста школьных заданий, скорее всего, предполагалось деление.
Ответ: $ \frac{x-1}{x(x+10)} $ (в случае деления).

530. Пусть уравнение $x^2+px+q=0$ имеет два действительных корня $x_1$ и $x_2$. Записать приведённое квадратное уравнение, имеющее корни $-x_1$ и $-x_2$.

Пусть дано приведённое квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$. По условию, оно имеет два действительных корня $x_1$ и $x_2$.

Согласно теореме Виета, для данного уравнения справедливы следующие соотношения между корнями и коэффициентами:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

Нам необходимо составить новое приведённое квадратное уравнение, корнями которого являются $y_1 = -x_1$ и $y_2 = -x_2$.

Общий вид приведённого квадратного уравнения с корнями $y_1$ и $y_2$ записывается как $y^2 - (y_1 + y_2)y + (y_1 \cdot y_2) = 0$.

Найдём сумму и произведение новых корней, выразив их через коэффициенты $p$ и $q$ исходного уравнения.

Сумма новых корней: $y_1 + y_2 = (-x_1) + (-x_2) = -(x_1 + x_2)$. Так как $x_1 + x_2 = -p$, то сумма новых корней равна $-(-p) = p$.

Произведение новых корней: $y_1 \cdot y_2 = (-x_1) \cdot (-x_2) = x_1 \cdot x_2$. Так как $x_1 \cdot x_2 = q$, то произведение новых корней равно $q$.

Теперь подставим найденные значения суммы $(p)$ и произведения $(q)$ в общую формулу приведённого квадратного уравнения:

$y^2 - py + q = 0$

Для стандартного вида заменим переменную $y$ на $x$.

Ответ: $x^2 - px + q = 0$

531. Корни $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $x^2 + 6x + q = 0$ удовлетворяют условию $x_2 = 2x_1$. Найти $q, x_1, x_2$.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$. Согласно этой теореме, сумма корней уравнения $x_1$ и $x_2$ равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Для нашего уравнения $x^2 + 6x + q = 0$:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -6$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В условии задачи также дано соотношение между корнями: $x_2 = 2x_1$.

Теперь у нас есть система из трех уравнений:
1) $x_1 + x_2 = -6$
2) $x_1 \cdot x_2 = q$
3) $x_2 = 2x_1$

Подставим выражение для $x_2$ из третьего уравнения в первое:
$x_1 + (2x_1) = -6$
$3x_1 = -6$
$x_1 = \frac{-6}{3}$
$x_1 = -2$

Теперь, зная значение $x_1$, найдем $x_2$ из третьего уравнения:
$x_2 = 2 \cdot x_1 = 2 \cdot (-2)$
$x_2 = -4$

Осталось найти $q$. Для этого подставим найденные значения $x_1$ и $x_2$ во второе уравнение системы:
$q = x_1 \cdot x_2 = (-2) \cdot (-4)$
$q = 8$

Проверка: подставим найденные значения в исходное уравнение. Получим $x^2 + 6x + 8 = 0$. Его корни $x = -2$ и $x = -4$. Сумма корней $-2 + (-4) = -6$. Произведение корней $(-2) \cdot (-4) = 8$. Условие $x_2=2x_1$ выполняется: $-4 = 2 \cdot (-2)$. Все верно.

Ответ: $q = 8$, $x_1 = -2$, $x_2 = -4$.

532. Корни $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $x^2 + px + 3 = 0$ удовлетворяют условию $x_2 = 3x_1$. Найти $p, x_1, x_2$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$. Согласно этой теореме, сумма и произведение корней ($x_1$ и $x_2$) связаны с коэффициентами уравнения следующими формулами:

$x_1 + x_2 = -b$

$x_1 \cdot x_2 = c$

Для данного в условии уравнения $x^2 + px + 3 = 0$ имеем $b=p$ и $c=3$. Таким образом, получаем систему уравнений:

1) $x_1 + x_2 = -p$

2) $x_1 \cdot x_2 = 3$

Из условия задачи нам также известно, что корни связаны соотношением:

3) $x_2 = 3x_1$

Подставим выражение для $x_2$ из уравнения (3) в уравнение (2):

$x_1 \cdot (3x_1) = 3$

$3x_1^2 = 3$

$x_1^2 = 1$

Это уравнение имеет два решения: $x_1 = 1$ и $x_1 = -1$. Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно.

Случай 1: $x_1 = 1$

Используя уравнение (3), находим второй корень $x_2$:

$x_2 = 3x_1 = 3 \cdot 1 = 3$

Теперь, используя уравнение (1), находим коэффициент $p$:

$p = -(x_1 + x_2) = -(1 + 3) = -4$

В этом случае мы получили первый набор значений: $p = -4$, $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Случай 2: $x_1 = -1$

Аналогично находим второй корень $x_2$:

$x_2 = 3x_1 = 3 \cdot (-1) = -3$

И находим коэффициент $p$:

$p = -(x_1 + x_2) = -(-1 - 3) = -(-4) = 4$

В этом случае мы получили второй набор значений: $p = 4$, $x_1 = -1$, $x_2 = -3$.

Оба полученных набора значений удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: Задача имеет два решения: 1) $p=-4, x_1=1, x_2=3$; 2) $p=4, x_1=-1, x_2=-3$.

533. Не вычисляя корней $x_1$ и $x_2$ уравнения $3x^2 - 8x - 15 = 0$, найти:

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$;

2) $x_1^2 + x_2^2$;

3) $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$;

4) $x_1^3 + x_2^3$.

Для решения задачи, не вычисляя корней уравнения, воспользуемся теоремой Виета. Для заданного квадратного уравнения $3x^2 - 8x - 15 = 0$ с коэффициентами $a=3$, $b=-8$, $c=-15$ и корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} = - \frac{-8}{3} = \frac{8}{3}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-15}{3} = -5$

Используем эти два основных значения для нахождения требуемых выражений.

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$
Чтобы найти сумму этих дробей, приведем их к общему знаменателю $x_1 x_2$:
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2}{x_1 x_2} + \frac{x_1}{x_1 x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$.
Теперь подставим известные нам значения суммы и произведения корней:
$\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{8/3}{-5} = \frac{8}{3 \cdot (-5)} = -\frac{8}{15}$.
Ответ: $-\frac{8}{15}$.

2) $x_1^2 + x_2^2$
Это выражение можно преобразовать, выделив полный квадрат суммы $(x_1 + x_2)^2$. Формула квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2$. Отсюда выразим сумму квадратов:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$.
Подставим значения суммы и произведения корней:
$(\frac{8}{3})^2 - 2(-5) = \frac{64}{9} + 10 = \frac{64}{9} + \frac{90}{9} = \frac{154}{9}$.
В виде смешанной дроби это $17\frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{154}{9}$.

3) $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$
Приведем дроби к общему знаменателю $x_1 x_2$:
$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2}$.
Значение числителя ($x_1^2 + x_2^2$) мы уже вычислили в пункте 2, оно равно $\frac{154}{9}$. Значение знаменателя ($x_1 x_2$) равно $-5$.
Подставим эти значения:
$\frac{154/9}{-5} = \frac{154}{9 \cdot (-5)} = -\frac{154}{45}$.
В виде смешанной дроби это $-3\frac{19}{45}$.
Ответ: $-\frac{154}{45}$.

4) $x_1^3 + x_2^3$
Для нахождения суммы кубов можно использовать одну из двух формул.
Первый способ, используя формулу суммы кубов: $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2)$.
Подставим ранее найденные значения $x_1+x_2 = \frac{8}{3}$, $x_1^2+x_2^2 = \frac{154}{9}$ и $x_1 x_2 = -5$:
$\frac{8}{3} \cdot (\frac{154}{9} - (-5)) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{154}{9} + 5) = \frac{8}{3} \cdot (\frac{154 + 45}{9}) = \frac{8}{3} \cdot \frac{199}{9} = \frac{1592}{27}$.
Второй способ, используя тождество: $x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1+x_2)$.
Подставим значения $x_1+x_2 = \frac{8}{3}$ и $x_1 x_2 = -5$:
$(\frac{8}{3})^3 - 3(-5)(\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + 15 \cdot \frac{8}{3} = \frac{512}{27} + 40 = \frac{512 + 40 \cdot 27}{27} = \frac{512 + 1080}{27} = \frac{1592}{27}$.
Оба способа дают одинаковый результат. В виде смешанной дроби это $58\frac{26}{27}$.
Ответ: $\frac{1592}{27}$.

534. С помощью калькулятора найти корни уравнения; по теореме Виета выяснить, являются найденные значения точными или приближёнными значениями корней уравнения:

1) $x^2 + 2x - 1 = 0;$

2) $x^2 - 2x - 2 = 0;$

3) $x^2 + 1,8x - 28,35 = 0;$

4) $x^2 - 39x - 1026 = 0.$

1) $x^2+2x-1=0$
Решим уравнение с помощью формулы корней для квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$. Здесь $a=1$, $b=2$, $c=-1$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.
Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2}$.
Так как $D=8$ не является полным квадратом, корни уравнения иррациональны. С помощью калькулятора находим их приближенные значения:
$x_1 = -1 + \sqrt{2} \approx 0,4142$
$x_2 = -1 - \sqrt{2} \approx -2,4142$
Теперь применим теорему Виета для проверки. Для приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ должны выполняться равенства: $x_1+x_2=-p$ и $x_1 \cdot x_2=q$.
В нашем уравнении $p=2$, $q=-1$. Таким образом, должно быть $x_1+x_2=-2$ и $x_1 \cdot x_2=-1$.
Проверим сумму найденных корней: $0,4142 + (-2,4142) = -2$. Это равенство выполняется.
Проверим произведение: $0,4142 \cdot (-2,4142) = -0,99996164$. Это значение не равно в точности $-1$.
Расхождение возникает из-за округления иррациональных корней. Следовательно, найденные на калькуляторе значения являются приближенными.
Ответ: найденные значения являются приближенными; $x_1 \approx 0,414, x_2 \approx -2,414$.

2) $x^2-2x-2=0$
Решим уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=-2$, $c=-2$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.
Корни уравнения: $x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.
Так как $D=12$ не является полным квадратом, корни иррациональны. С помощью калькулятора найдем их приближенные значения:
$x_1 = 1 + \sqrt{3} \approx 2,732$
$x_2 = 1 - \sqrt{3} \approx -0,732$
По теореме Виета для данного уравнения ($p=-2, q=-2$) должно быть: $x_1+x_2 = -(-2) = 2$ и $x_1 \cdot x_2 = -2$.
Проверим сумму: $2,732 + (-0,732) = 2$. Равенство выполняется.
Проверим произведение: $2,732 \cdot (-0,732) = -1,999824$. Это значение близко, но не равно в точности $-2$.
Следовательно, найденные значения являются приближенными.
Ответ: найденные значения являются приближенными; $x_1 \approx 2,732, x_2 \approx -0,732$.

3) $x^2+1,8x-28,35=0$
Решим уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=1,8$, $c=-28,35$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (1,8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28,35) = 3,24 + 113,4 = 116,64$.
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{116,64} = 10,8$. Так как корень извлекается точно, корни уравнения будут рациональными.
Найдем корни с помощью калькулятора:
$x_1 = \frac{-1,8 + 10,8}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$.
$x_2 = \frac{-1,8 - 10,8}{2} = \frac{-12,6}{2} = -6,3$.
Проверим по теореме Виета. Для нашего уравнения $p=1,8$, $q=-28,35$, поэтому должно быть $x_1+x_2 = -1,8$ и $x_1 \cdot x_2 = -28,35$.
Проверка суммы: $4,5 + (-6,3) = -1,8$. Равенство выполняется точно.
Проверка произведения: $4,5 \cdot (-6,3) = -28,35$. Равенство выполняется точно.
Так как оба соотношения выполняются точно, найденные значения являются точными корнями.
Ответ: найденные значения $x_1=4,5, x_2=-6,3$ являются точными.

4) $x^2-39x-1026=0$
Решим уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=-39$, $c=-1026$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-39)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1026) = 1521 + 4104 = 5625$.
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{5625} = 75$. Так как корень извлекается точно, корни уравнения будут целыми числами.
Найдем корни с помощью калькулятора:
$x_1 = \frac{-(-39) + 75}{2} = \frac{114}{2} = 57$.
$x_2 = \frac{-(-39) - 75}{2} = \frac{-36}{2} = -18$.
Проверим по теореме Виета. Для нашего уравнения $p=-39$, $q=-1026$, поэтому должно быть $x_1+x_2 = -(-39) = 39$ и $x_1 \cdot x_2 = -1026$.
Проверка суммы: $57 + (-18) = 39$. Равенство выполняется точно.
Проверка произведения: $57 \cdot (-18) = -1026$. Равенство выполняется точно.
Так как оба соотношения выполняются точно, найденные значения являются точными корнями.
Ответ: найденные значения $x_1=57, x_2=-18$ являются точными.