Номер 2, страница 216 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 31. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 2, страница 216.

Условие.

2. Какую замену неизвестного нужно выполнить, чтобы уравнение $ax^4 + bx^2 + c = 0 (a \neq 0)$ привести к виду квадратного?

Решение 4.

Данное уравнение $ax^4 + bx^2 + c = 0$ ($a \neq 0$) называется биквадратным. Чтобы привести его к виду стандартного квадратного уравнения, необходимо выполнить замену переменной.

Ключевое наблюдение заключается в соотношении степеней переменной $x$. Мы видим, что $x^4$ является квадратом от $x^2$, то есть, можно записать $x^4 = (x^2)^2$.

Это позволяет нам ввести новую переменную, которая будет равна $x^2$. Давайте обозначим эту новую переменную, например, буквой $t$.

Итак, выполним замену: пусть $t = x^2$.

Теперь подставим эту замену в исходное уравнение. Член $bx^2$ превращается в $bt$. Член $ax^4$ превращается в $a(x^2)^2$, что равно $at^2$.

Исходное уравнение $ax^4 + bx^2 + c = 0$ преобразуется в следующее:

$at^2 + bt + c = 0$

Это уравнение является квадратным уравнением относительно новой переменной $t$, так как оно имеет вид $Ay^2 + By + C = 0$, где $y=t$, $A=a$, $B=b$, $C=c$. По условию $a \neq 0$, что и требуется для квадратного уравнения.

Ответ: Чтобы привести уравнение $ax^4 + bx^2 + c = 0$ к виду квадратного, нужно выполнить замену неизвестного $t = x^2$ (или любую другую букву вместо $t$).