Номер 537, страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 31. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 537, страница 217.

Условие.

537. 1) $\frac{10}{x-3} - \frac{8}{x} = 1;$

2) $\frac{2}{x-5} + \frac{14}{x} = 3;$

3) $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+3} = \frac{3}{20};$

4) $\frac{40}{x-20} - \frac{40}{x} = 1;$

5) $\frac{1}{x-3} + \frac{1}{x+3} = \frac{5}{8};$

6) $\frac{4}{x-2} + \frac{4}{x+2} = 1,5.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Решим уравнение $\frac{10}{x-3} - \frac{8}{x} = 1$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $x-3 \neq 0$ и $x \neq 0$, то есть $x \neq 3$ и $x \neq 0$.

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x-3)$ и умножим обе части уравнения на него:

$10x - 8(x-3) = 1 \cdot x(x-3)$

Раскроем скобки и упростим:

$10x - 8x + 24 = x^2 - 3x$

$2x + 24 = x^2 - 3x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 3x - 2x - 24 = 0$

$x^2 - 5x - 24 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $5$, а произведение равно $-24$. Подбором находим корни:

$x_1 = 8$

$x_2 = -3$

Оба корня ($8$ и $-3$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 3$ и $x \neq 0$).

Ответ: $-3; 8$.

2) Решим уравнение $\frac{2}{x-5} + \frac{14}{x} = 3$.

ОДЗ: $x-5 \neq 0$ и $x \neq 0$, то есть $x \neq 5$ и $x \neq 0$.

Общий знаменатель: $x(x-5)$. Умножим обе части уравнения на него:

$2x + 14(x-5) = 3x(x-5)$

Раскроем скобки:

$2x + 14x - 70 = 3x^2 - 15x$

$16x - 70 = 3x^2 - 15x$

Приведем к стандартному виду:

$3x^2 - 15x - 16x + 70 = 0$

$3x^2 - 31x + 70 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант. Здесь $a=3, b=-31, c=70$.

$D = b^2 - 4ac = (-31)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 70 = 961 - 840 = 121 = 11^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{31 \pm 11}{2 \cdot 3} = \frac{31 \pm 11}{6}$

$x_1 = \frac{31 + 11}{6} = \frac{42}{6} = 7$

$x_2 = \frac{31 - 11}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$

Оба корня ($7$ и $\frac{10}{3}$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{10}{3}; 7$.

3) Решим уравнение $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+3} = \frac{3}{20}$.

ОДЗ: $x \neq 0$ и $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq 0$ и $x \neq -3$.

Общий знаменатель: $20x(x+3)$. Умножим обе части уравнения на него:

$1 \cdot 20(x+3) + 1 \cdot 20x = 3x(x+3)$

$20x + 60 + 20x = 3x^2 + 9x$

$40x + 60 = 3x^2 + 9x$

Приведем к стандартному виду:

$3x^2 + 9x - 40x - 60 = 0$

$3x^2 - 31x - 60 = 0$

Решим через дискриминант. Здесь $a=3, b=-31, c=-60$.

$D = b^2 - 4ac = (-31)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-60) = 961 + 720 = 1681 = 41^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{31 \pm 41}{2 \cdot 3} = \frac{31 \pm 41}{6}$

$x_1 = \frac{31 + 41}{6} = \frac{72}{6} = 12$

$x_2 = \frac{31 - 41}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Оба корня ($12$ и $-\frac{5}{3}$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-\frac{5}{3}; 12$.

4) Решим уравнение $\frac{40}{x-20} - \frac{40}{x} = 1$.

ОДЗ: $x-20 \neq 0$ и $x \neq 0$, то есть $x \neq 20$ и $x \neq 0$.

Общий знаменатель: $x(x-20)$. Умножим обе части на него:

$40x - 40(x-20) = 1 \cdot x(x-20)$

$40x - 40x + 800 = x^2 - 20x$

$800 = x^2 - 20x$

Приведем к стандартному виду:

$x^2 - 20x - 800 = 0$

Решим по теореме Виета. Сумма корней $20$, произведение $-800$.

$x_1 = 40$

$x_2 = -20$

Оба корня ($40$ и $-20$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-20; 40$.

5) Решим уравнение $\frac{1}{x-3} + \frac{1}{x+3} = \frac{5}{8}$.

ОДЗ: $x-3 \neq 0$ и $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Общий знаменатель: $8(x-3)(x+3)$. Умножим обе части на него:

$1 \cdot 8(x+3) + 1 \cdot 8(x-3) = 5(x-3)(x+3)$

$8x + 24 + 8x - 24 = 5(x^2 - 9)$

$16x = 5x^2 - 45$

Приведем к стандартному виду:

$5x^2 - 16x - 45 = 0$

Решим через дискриминант. Здесь $a=5, b=-16, c=-45$.

$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 256 + 900 = 1156 = 34^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm 34}{2 \cdot 5} = \frac{16 \pm 34}{10}$

$x_1 = \frac{16 + 34}{10} = \frac{50}{10} = 5$

$x_2 = \frac{16 - 34}{10} = \frac{-18}{10} = -1,8$

Оба корня ($5$ и $-1,8$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-1,8; 5$.

6) Решим уравнение $\frac{4}{x-2} + \frac{4}{x+2} = 1,5$.

Представим $1,5$ в виде дроби $\frac{3}{2}$. Уравнение примет вид: $\frac{4}{x-2} + \frac{4}{x+2} = \frac{3}{2}$.

ОДЗ: $x-2 \neq 0$ и $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Общий знаменатель: $2(x-2)(x+2)$. Умножим обе части на него:

$4 \cdot 2(x+2) + 4 \cdot 2(x-2) = 3(x-2)(x+2)$

$8(x+2) + 8(x-2) = 3(x^2 - 4)$

$8x + 16 + 8x - 16 = 3x^2 - 12$

$16x = 3x^2 - 12$

Приведем к стандартному виду:

$3x^2 - 16x - 12 = 0$

Решим через дискриминант. Здесь $a=3, b=-16, c=-12$.

$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 256 + 144 = 400 = 20^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm 20}{2 \cdot 3} = \frac{16 \pm 20}{6}$

$x_1 = \frac{16 + 20}{6} = \frac{36}{6} = 6$

$x_2 = \frac{16 - 20}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Оба корня ($6$ и $-\frac{2}{3}$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-\frac{2}{3}; 6$.