Номер 540, страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 31. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 540, страница 217.

Условие.

540. При каких значениях x равны значения выражений:

1) $\frac{6}{x^2-1} + \frac{2}{1-x}$ и $2 - \frac{x+4}{x+1}$,

2) $\frac{1}{x+2} - \frac{3}{x-2}$ и $\frac{4}{4-x^2} + 1?$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Чтобы найти значения $x$, при которых значения выражений равны, приравняем их друг к другу:

$\frac{6}{x^2-1} + \frac{2}{1-x} = 2 - \frac{x+4}{x+1}$

Преобразуем знаменатели для нахождения общего знаменателя. Используем формулу разности квадратов $x^2-1 = (x-1)(x+1)$ и вынесем минус за скобки во втором слагаемом: $1-x = -(x-1)$.

$\frac{6}{(x-1)(x+1)} - \frac{2}{x-1} = 2 - \frac{x+4}{x+1}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x-1 \neq 0$ и $x+1 \neq 0$. Следовательно, $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Приведем все члены уравнения к общему знаменателю $(x-1)(x+1)$ и умножим обе части уравнения на него:

$6 - 2(x+1) = 2(x-1)(x+1) - (x+4)(x-1)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$6 - 2x - 2 = 2(x^2 - 1) - (x^2 - x + 4x - 4)$

$4 - 2x = 2x^2 - 2 - (x^2 + 3x - 4)$

$4 - 2x = 2x^2 - 2 - x^2 - 3x + 4$

$4 - 2x = x^2 - 3x + 2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 3x + 2x + 2 - 4 = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Его можно решить по теореме Виета или через дискриминант. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq -1$). Корень $x = -1$ является посторонним, так как обращает знаменатель в ноль. Корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x=2$.

2)

Приравняем данные выражения:

$\frac{1}{x+2} - \frac{3}{x-2} = \frac{4}{4-x^2} + 1$

Преобразуем знаменатель дроби в правой части: $4-x^2 = -(x^2-4) = -(x-2)(x+2)$.

$\frac{1}{x+2} - \frac{3}{x-2} = \frac{4}{-(x-2)(x+2)} + 1$

$\frac{1}{x+2} - \frac{3}{x-2} = -\frac{4}{(x-2)(x+2)} + 1$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+2 \neq 0$ и $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$ и $x \neq 2$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-2)(x+2)$:

$1 \cdot (x-2) - 3 \cdot (x+2) = -4 + 1 \cdot (x-2)(x+2)$

Раскроем скобки и упростим:

$x - 2 - 3x - 6 = -4 + (x^2 - 4)$

$-2x - 8 = -4 + x^2 - 4$

$-2x - 8 = x^2 - 8$

Перенесем все члены в правую часть:

$x^2 + 2x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x+2) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -2$ и $x \neq 2$). Корень $x = -2$ является посторонним. Корень $x=0$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x=0$.