Номер 6, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 29. Решение квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 6, страница 201.

Условие.

6. Обосновать вывод формулы корней квадратного уравнения, у которого второй коэффициент представим в виде $2m$, где $m$ — целое число.

Решение 4.

Рассмотрим стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$.

Общая формула для нахождения корней этого уравнения выглядит следующим образом:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Согласно условию задачи, второй коэффициент $b$ можно представить в виде $b = 2m$, где $m$ — целое число. Это означает, что коэффициент $b$ является четным. Заметим, что $m = \frac{b}{2}$.

Подставим $b = 2m$ в общую формулу корней квадратного уравнения, чтобы получить формулу для случая с четным вторым коэффициентом.

$x_{1,2} = \frac{-(2m) \pm \sqrt{(2m)^2 - 4ac}}{2a}$

Теперь выполним алгебраические преобразования. Сначала упростим выражение под корнем (дискриминант $D$):

$D = (2m)^2 - 4ac = 4m^2 - 4ac$

Как видно, из обоих слагаемых под корнем можно вынести общий множитель 4:

$D = 4(m^2 - ac)$

Подставим это выражение обратно в формулу для корней:

$x_{1,2} = \frac{-2m \pm \sqrt{4(m^2 - ac)}}{2a}$

Используя свойство корня $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$, вынесем множитель 4 из-под знака корня:

$x_{1,2} = \frac{-2m \pm 2\sqrt{m^2 - ac}}{2a}$

Теперь в числителе можно вынести за скобки общий множитель 2:

$x_{1,2} = \frac{2(-m \pm \sqrt{m^2 - ac})}{2a}$

Сократим общий множитель 2 в числителе и знаменателе:

$x_{1,2} = \frac{-m \pm \sqrt{m^2 - ac}}{a}$

Эта формула является искомой. Выражение $D_1 = m^2 - ac$ иногда называют "дискриминантом для четного коэффициента" или "четвертью дискриминанта", поскольку $D_1 = \frac{D}{4}$. Таким образом, мы обосновали вывод формулы, которая упрощает вычисления в случае, когда второй коэффициент квадратного уравнения является четным числом.

Ответ: Формула для корней квадратного уравнения, у которого второй коэффициент $b$ представим в виде $2m$, выводится из стандартной формулы корней $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ путем подстановки $b = 2m$. Последовательные алгебраические упрощения, включающие вынесение множителя 4 из-под корня и сокращение дроби на 2, приводят к итоговой формуле: $x = \frac{-m \pm \sqrt{m^2 - ac}}{a}$, где $m = \frac{b}{2}$.