Номер 1, страница 197 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 28. Метод выделения полного квадрата. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 1, страница 197.

Условие.

1. Обосновать этапы преобразования уравнения $x^2+2x-3=0$ к виду $(x+1)^2=4$ в задаче 1.

Решение 4.

1. Преобразование уравнения $x^2+2x-3=0$ к виду $(x+1)^2=4$ осуществляется с помощью метода выделения полного квадрата. Этот метод заключается в том, чтобы представить часть уравнения в виде квадрата двучлена. Рассмотрим этапы преобразования.

Этап 1: Изоляция членов с переменной.
Начнем с исходного уравнения: $x^2+2x-3=0$.
Чтобы подготовить левую часть к выделению полного квадрата, перенесем свободный член (-3) в правую часть уравнения. Это равносильно прибавлению 3 к обеим частям уравнения, чтобы сохранить равенство.
$x^2+2x-3+3 = 0+3$
$x^2+2x = 3$

Этап 2: Дополнение до полного квадрата.
Левая часть уравнения, $x^2+2x$, представляет собой первые два члена из формулы квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
В нашем случае $a=x$. Тогда член $2ab$ соответствует $2x$. Отсюда мы можем найти $b$:
$2 \cdot x \cdot b = 2x$
$b = 1$
Чтобы получить полный квадрат, нам не хватает третьего члена, $b^2$. В нашем случае это $1^2 = 1$.

Этап 3: Сохранение равенства.
Чтобы уравнение осталось верным, мы должны прибавить найденное число (1) к обеим его частям.
$x^2+2x+1 = 3+1$

Этап 4: Свертывание полного квадрата и упрощение.
Теперь левая часть уравнения, $x^2+2x+1$, представляет собой полный квадрат, который можно свернуть по формуле в $(x+1)^2$. Правую часть уравнения просто вычисляем: $3+1 = 4$.
В результате получаем искомое уравнение:
$(x+1)^2 = 4$

Таким образом, мы обосновали каждый шаг преобразования исходного уравнения к требуемому виду.

Ответ: Преобразование уравнения $x^2+2x-3=0$ к виду $(x+1)^2=4$ выполняется методом выделения полного квадрата. Сначала свободный член -3 переносится в правую часть уравнения, что дает $x^2+2x=3$. Затем, чтобы левая часть стала полным квадратом, к обеим частям уравнения прибавляется $(\frac{2}{2})^2=1$. В результате левая часть $x^2+2x+1$ сворачивается в $(x+1)^2$, а правая часть становится $3+1=4$, что и приводит к итоговому виду $(x+1)^2=4$.