Номер 494, страница 194 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 27. Неполные квадратные уравнения. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 494, страница 194.

Условие.

494. Решить уравнение:

1) $ \frac{x^2 - 9}{x - 3} = 0; $

2) $ \frac{2x + x^2}{x + 2} = 0. $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $ \frac{x^2 - 9}{x - 3} = 0 $

Дробное рациональное уравнение равно нулю тогда и только тогда, когда его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Запишем это в виде системы:

$ \begin{cases} x^2 - 9 = 0, \\ x - 3 \neq 0. \end{cases} $

Сначала решим уравнение из системы:

$ x^2 - 9 = 0 $

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$ (x - 3)(x + 3) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$ x - 3 = 0 $ или $ x + 3 = 0 $

$ x_1 = 3 $ или $ x_2 = -3 $

Теперь проверим эти корни на соответствие области допустимых значений (ОДЗ), которая определяется условием $ x - 3 \neq 0 $:

$ x \neq 3 $

Корень $ x_1 = 3 $ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Корень $ x_2 = -3 $ удовлетворяет условию $ x \neq 3 $.

Следовательно, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: -3

2) $ \frac{2x + x^2}{x + 2} = 0 $

Уравнение равносильно системе, в которой числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$ \begin{cases} 2x + x^2 = 0, \\ x + 2 \neq 0. \end{cases} $

Решим первое уравнение системы, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$ x(2 + x) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$ x_1 = 0 $ или $ 2 + x = 0 $

Из второго уравнения находим $ x_2 = -2 $.

Теперь учтем ОДЗ из второго условия системы:

$ x + 2 \neq 0 $

$ x \neq -2 $

Сравниваем найденные корни с ОДЗ. Корень $ x_1 = 0 $ удовлетворяет условию $ x \neq -2 $. Корень $ x_2 = -2 $ не удовлетворяет ОДЗ, следовательно, является посторонним корнем.

Таким образом, уравнение имеет только один корень.

Ответ: 0