Номер 489, страница 194 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 27. Неполные квадратные уравнения. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 489, страница 194.

Условие.

489. При каких значениях x значения данных дробей равны:

1) $ \frac{4x^2 - 3x}{3} $ и $ \frac{x^2 + 5x}{2} $;

2) $ \frac{3x^2 + 7x}{4} $ и $ \frac{7x^2 - 5x}{3} $?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы найти значения $x$, при которых значения данных дробей равны, необходимо приравнять их:

$\frac{4x^2 - 3x}{3} = \frac{x^2 + 5x}{2}$

Для решения данного уравнения воспользуемся свойством пропорции (правилом перекрестного умножения), умножив числитель первой дроби на знаменатель второй и числитель второй дроби на знаменатель первой:

$2(4x^2 - 3x) = 3(x^2 + 5x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$8x^2 - 6x = 3x^2 + 15x$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приведем подобные члены:

$8x^2 - 3x^2 - 6x - 15x = 0$

$5x^2 - 21x = 0$

Получили неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(5x - 21) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, имеем два случая:

$x_1 = 0$

или

$5x - 21 = 0$

$5x = 21$

$x_2 = \frac{21}{5} = 4,2$

Ответ: $0; 4,2$.

2) Аналогично приравняем вторые две дроби, чтобы найти соответствующие значения $x$:

$\frac{3x^2 + 7x}{4} = \frac{7x^2 - 5x}{3}$

Применим правило перекрестного умножения:

$3(3x^2 + 7x) = 4(7x^2 - 5x)$

Раскроем скобки:

$9x^2 + 21x = 28x^2 - 20x$

Перенесем все слагаемые в правую часть уравнения, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным, и приведем подобные члены:

$0 = 28x^2 - 9x^2 - 20x - 21x$

$19x^2 - 41x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(19x - 41) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

или

$19x - 41 = 0$

$19x = 41$

$x_2 = \frac{41}{19}$

Ответ: $0; \frac{41}{19}$.