Номер 4, страница 193 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 27. Неполные квадратные уравнения. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 4, страница 193.

Условие.

4. Почему не имеет корней уравнение в задаче 3?

Решение 4.

Поскольку уравнение из задачи 3 не представлено, невозможно дать точный ответ, почему именно оно не имеет корней. Однако мы можем рассмотреть общие причины, по которым уравнение может не иметь решений в области действительных чисел. Обычно это связано с основными свойствами функций и математических операций.

1. Несоответствие областей значений левой и правой частей уравнения

Это одна из самых частых причин отсутствия корней. Она возникает, когда одна часть уравнения по своей природе не может быть равна другой. Рассмотрим несколько конкретных случаев.

а) Выражение в четной степени или под знаком модуля равно отрицательному числу

Квадрат любого действительного числа, как и любое выражение в четной степени ($x^2, x^4, ...$), всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю). Аналогично, модуль числа ($|x|$) по определению неотрицателен. Если такое выражение приравнивается к строго отрицательному числу, уравнение не имеет решений.

Пример 1: $x^2 = -9$.

Нет такого действительного числа, квадрат которого был бы отрицательным. Левая часть ($x^2$) всегда $\ge 0$, а правая часть ($-9$) отрицательна. Равенство невозможно.

Пример 2: $|2x - 5| + 1 = 0$.

Перенесем 1 в правую часть: $|2x - 5| = -1$. Модуль числа не может быть отрицательным, поэтому данное уравнение не имеет корней.

Ответ: Уравнение не имеет корней, если выражение, которое по определению является неотрицательным (модуль, четная степень), приравнивается к отрицательному числу.

б) Арифметический корень четной степени равен отрицательному числу

Арифметический квадратный корень ($\sqrt{a}$), как и любой корень четной степени ($\sqrt[4]{a}, \sqrt[6]{a}, ...$), по определению является неотрицательным числом. Поэтому уравнение, в котором такой корень приравнивается к отрицательному числу, не имеет решений.

Пример: $\sqrt{x + 2} = -4$.

Левая часть ($\sqrt{x+2}$) для любого допустимого значения $x$ должна быть неотрицательной. Правая часть равна -4. Так как неотрицательное число не может равняться отрицательному, уравнение не имеет решений.

Ответ: Уравнение вида $\sqrt[2n]{f(x)} = c$, где $n \in \mathbb{N}$ и $c < 0$, не имеет действительных корней.

в) Значение функции выходит за пределы ее области значений

Некоторые функции могут принимать значения только из определенного промежутка. Если в уравнении такая функция приравнивается к числу, не входящему в ее область значений, то корней нет.

Пример 1 (тригонометрия): $\cos(x) = 2$.

Область значений функции $y = \cos(x)$ — это отрезок $[-1; 1]$. Значение 2 не входит в этот отрезок, следовательно, уравнение не имеет решений.

Пример 2 (показательная функция): $5^x = -1$.

Область значений показательной функции $y = a^x$ (при $a > 0$) — это интервал $(0; +\infty)$. Она может быть сколь угодно близкой к нулю, но никогда не бывает отрицательной или равной нулю. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: Уравнение не имеет корней, если одна его часть представляет собой функцию с ограниченной областью значений, а другая часть — число, не входящее в эту область.

2. Квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом

Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ наличие действительных корней определяется знаком дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Если $D < 0$, то уравнение не имеет действительных корней, так как формула корней $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ содержит операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа, что невозможно в множестве действительных чисел.

Пример: $2x^2 - 3x + 4 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 - 32 = -23$.

Поскольку $D = -23 < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант меньше нуля.

3. Посторонние корни, не входящие в Область допустимых значений (ОДЗ)

Иногда в процессе решения уравнения (например, дробно-рационального или иррационального) мы выполняем преобразования, которые могут привести к появлению "посторонних" корней. Если все найденные корни оказываются посторонними, то исходное уравнение не имеет решений.

Пример: $\frac{x^2}{x - 5} = \frac{25}{x - 5}$.

Сначала определим ОДЗ: знаменатель не может быть равен нулю, т.е. $x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$.

Приравняем числители: $x^2 = 25$. Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Теперь проверим корни по ОДЗ. Корень $x = -5$ удовлетворяет условию $x \neq 5$. А вот корень $x = 5$ не входит в ОДЗ, поэтому он является посторонним. Так как после отсеивания посторонних корней у нас остался один корень ($x = -5$), то у этого уравнения есть решение.

Пример без корней: $\frac{x^2 - 2x}{x-2} = 2$.

ОДЗ: $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$. Решаем: $\frac{x(x-2)}{x-2} = 2$. Сокращая на $(x-2)$, получаем $x=2$. Но этот единственный найденный корень не входит в ОДЗ. Следовательно, у уравнения нет решений.

Ответ: Уравнение не имеет корней, если все найденные в процессе решения кандидаты в корни не удовлетворяют области допустимых значений исходного уравнения.