Номер 481, страница 190 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 26. Квадратное уравнение и его корни. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 481, страница 190.

Условие.

481. Найти такое положительное число $b$, чтобы левая часть уравнения оказалась квадратом суммы или разности, и решить полученное уравнение:

1) $x^2 + bx + 4 = 0;$

2) $x^2 - bx + 9 = 0;$

3) $x^2 - 8x + b = 0;$

4) $x^2 + \frac{2}{3}x + b = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Рассматриваем уравнение $x^2 + bx + 4 = 0$. Чтобы левая часть была квадратом суммы или разности, она должна соответствовать формуле полного квадрата: $(a \pm c)^2 = a^2 \pm 2ac + c^2$.
В нашем случае $a^2 = x^2$, значит $a=x$. Свободный член равен 4, значит $c^2 = 4$, откуда $c=2$.
Средний член $bx$ должен быть равен $\pm 2ac = \pm 2 \cdot x \cdot 2 = \pm 4x$.
По условию $b$ — положительное число. Следовательно, мы выбираем знак плюс, что соответствует формуле квадрата суммы $(x+c)^2 = x^2 + 2cx + c^2$.
$bx = 4x$, откуда получаем $b=4$.
Подставляем найденное значение $b$ в исходное уравнение и решаем его:
$x^2 + 4x + 4 = 0$
Сворачиваем левую часть по формуле квадрата суммы:
$(x+2)^2 = 0$
$x+2 = 0$
$x = -2$
Ответ: $b=4, x=-2$.

2) Рассматриваем уравнение $x^2 - bx + 9 = 0$. Левая часть должна соответствовать формуле полного квадрата $(x \pm c)^2 = x^2 \pm 2cx + c^2$.
Здесь $a^2 = x^2$, значит $a=x$. Свободный член равен 9, значит $c^2 = 9$, откуда $c=3$.
Средний член $-bx$ должен быть равен $\pm 2ac = \pm 2 \cdot x \cdot 3 = \pm 6x$.
Так как по условию $b$ — положительное число, то $-b$ — отрицательное. Следовательно, мы выбираем знак минус, что соответствует формуле квадрата разности $(x-c)^2 = x^2 - 2cx + c^2$.
$-bx = -2cx = -6x$, откуда получаем $b=6$.
Подставляем найденное значение $b$ в исходное уравнение и решаем его:
$x^2 - 6x + 9 = 0$
Сворачиваем левую часть по формуле квадрата разности:
$(x-3)^2 = 0$
$x-3 = 0$
$x = 3$
Ответ: $b=6, x=3$.

3) Рассматриваем уравнение $x^2 - 8x + b = 0$. Левая часть должна соответствовать формуле полного квадрата $(x \pm c)^2 = x^2 \pm 2cx + c^2$.
Здесь $a^2 = x^2$, значит $a=x$. Средний член равен $-8x$.
Приравниваем его к члену $\pm 2ac = \pm 2xc$. Так как коэффициент $-8$ отрицательный, выбираем знак минус:
$-8x = -2xc$
$8 = 2c$, откуда $c=4$.
Свободный член $b$ должен быть равен $c^2$.
$b = c^2 = 4^2 = 16$.
Значение $b=16$ положительное, что соответствует условию.
Подставляем найденное значение $b$ в исходное уравнение и решаем его:
$x^2 - 8x + 16 = 0$
$(x-4)^2 = 0$
$x-4 = 0$
$x = 4$
Ответ: $b=16, x=4$.

4) Рассматриваем уравнение $x^2 + \frac{2}{3}x + b = 0$. Левая часть должна соответствовать формуле полного квадрата $(x \pm c)^2 = x^2 \pm 2cx + c^2$.
Здесь $a^2 = x^2$, значит $a=x$. Средний член равен $\frac{2}{3}x$.
Приравниваем его к члену $\pm 2ac = \pm 2xc$. Так как коэффициент $\frac{2}{3}$ положительный, выбираем знак плюс:
$\frac{2}{3}x = 2xc$
$\frac{2}{3} = 2c$, откуда $c = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$.
Свободный член $b$ должен быть равен $c^2$.
$b = c^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.
Значение $b=\frac{1}{9}$ положительное, что соответствует условию.
Подставляем найденное значение $b$ в исходное уравнение и решаем его:
$x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = 0$
$(x+\frac{1}{3})^2 = 0$
$x+\frac{1}{3} = 0$
$x = -\frac{1}{3}$
Ответ: $b=\frac{1}{9}, x=-\frac{1}{3}$.