Номер 477, страница 190 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 26. Квадратное уравнение и его корни. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 477, страница 190.

Условие.

477. Решить квадратное уравнение, разложив его левую часть на множители:

1) $x^2 - x = 0;$

2) $x^2 + 2x = 0;$

3) $3x^2 + 5x = 0;$

4) $5x^2 - 3x = 0;$

5) $x^2 - 4x + 4 = 0;$

6) $x^2 + 6x + 9 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Дано уравнение $x^2 - x = 0$.

Для решения разложим левую часть уравнения на множители, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $x - 1 = 0$

Из второго уравнения находим $x = 1$.

Таким образом, у уравнения два корня.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.

2) Дано уравнение $x^2 + 2x = 0$.

Разложим левую часть на множители, вынеся общий множитель $x$:

$x(x + 2) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $x + 2 = 0$

Из второго уравнения находим $x = -2$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = -2$.

3) Дано уравнение $3x^2 + 5x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(3x + 5) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $3x + 5 = 0$

Решаем второе уравнение: $3x = -5$, откуда $x = -5/3$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = -5/3$.

4) Дано уравнение $5x^2 - 3x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(5x - 3) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $5x - 3 = 0$

Решаем второе уравнение: $5x = 3$, откуда $x = 3/5$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 3/5$.

5) Дано уравнение $x^2 - 4x + 4 = 0$.

Левая часть уравнения является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a=x$ и $b=2$.

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x - 2)^2$

Уравнение принимает вид:

$(x - 2)^2 = 0$

Это означает, что $x - 2 = 0$.

Отсюда находим единственный корень (или два совпадающих корня).

Ответ: $x = 2$.

6) Дано уравнение $x^2 + 6x + 9 = 0$.

Левая часть уравнения является полным квадратом суммы, который можно свернуть по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае $a=x$ и $b=3$.

$x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x + 3)^2$

Уравнение принимает вид:

$(x + 3)^2 = 0$

Это означает, что $x + 3 = 0$.

Отсюда находим единственный корень (или два совпадающих корня).

Ответ: $x = -3$.