Номер 475, страница 190 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 26. Квадратное уравнение и его корни. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 475, страница 190.

Условие.

475. Найти корни уравнения:

1) $x^2 = \frac{9}{16}$;

2) $x^2 = \frac{16}{49}$;

3) $x^2 = 1\frac{7}{9}$;

4) $x^2 = 2\frac{1}{4}$;

5) $x^2 = 5$;

6) $x^2 = 13$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Дано уравнение $x^2 = \frac{9}{16}$. Для нахождения корней уравнения необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей. Уравнение вида $x^2 = a$, где $a \ge 0$, имеет два корня: $x_1 = \sqrt{a}$ и $x_2 = -\sqrt{a}$, что записывается как $x = \pm\sqrt{a}$.
Применим это к нашему уравнению:
$x = \pm\sqrt{\frac{9}{16}}$
Используя свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, получаем:
$x = \pm\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}$
$x = \pm\frac{3}{4}$
Таким образом, корни уравнения: $x_1 = \frac{3}{4}$ и $x_2 = -\frac{3}{4}$.
Ответ: $\pm\frac{3}{4}$

2) Дано уравнение $x^2 = \frac{16}{49}$. Решение аналогично предыдущему пункту. Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x = \pm\sqrt{\frac{16}{49}}$
$x = \pm\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{49}}$
$x = \pm\frac{4}{7}$
Корни уравнения: $x_1 = \frac{4}{7}$ и $x_2 = -\frac{4}{7}$.
Ответ: $\pm\frac{4}{7}$

3) Дано уравнение $x^2 = 1\frac{7}{9}$. В первую очередь, преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$
Теперь уравнение имеет вид $x^2 = \frac{16}{9}$. Извлекаем квадратный корень:
$x = \pm\sqrt{\frac{16}{9}}$
$x = \pm\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}}$
$x = \pm\frac{4}{3}$
Корни уравнения: $x_1 = \frac{4}{3}$ и $x_2 = -\frac{4}{3}$. Ответ можно также представить в виде смешанного числа $\pm 1\frac{1}{3}$.
Ответ: $\pm\frac{4}{3}$

4) Дано уравнение $x^2 = 2\frac{1}{4}$. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$
Уравнение принимает вид $x^2 = \frac{9}{4}$. Найдем корни, извлекая квадратный корень:
$x = \pm\sqrt{\frac{9}{4}}$
$x = \pm\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$
$x = \pm\frac{3}{2}$
Корни уравнения: $x_1 = \frac{3}{2}$ и $x_2 = -\frac{3}{2}$. Ответ можно также представить в виде десятичной дроби $\pm 1.5$ или смешанного числа $\pm 1\frac{1}{2}$.
Ответ: $\pm\frac{3}{2}$

5) Дано уравнение $x^2 = 5$. Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x = \pm\sqrt{5}$
Поскольку 5 не является точным квадратом целого числа, его корень — иррациональное число. В таком виде ответ и оставляют.
Корни уравнения: $x_1 = \sqrt{5}$ и $x_2 = -\sqrt{5}$.
Ответ: $\pm\sqrt{5}$

6) Дано уравнение $x^2 = 13$. Аналогично предыдущему случаю, извлекаем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{13}$
Число 13 не является точным квадратом, поэтому корень из него — иррациональное число.
Корни уравнения: $x_1 = \sqrt{13}$ и $x_2 = -\sqrt{13}$.
Ответ: $\pm\sqrt{13}$