Номер 5, страница 193 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 27. Неполные квадратные уравнения. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 5, страница 193.

Условие.

5. На чём основана идея решения уравнения в задаче 4?

Решение 4.

Идея решения уравнения, о котором идет речь, с высокой вероятностью основана на анализе свойств функций, образующих левую и правую части уравнения. Наиболее часто в таких задачах применяется метод оценки (или метод мажорант), который использует свойство ограниченности функций.

Суть метода заключается в следующем. Пусть дано уравнение вида $f(x) = g(x)$. Если удается найти такое число $M$, что для всех допустимых значений $x$ одновременно выполняются два условия:
1) значение левой части не превышает $M$, то есть $f(x) \le M$;
2) значение правой части не меньше $M$, то есть $g(x) \ge M$.
Тогда равенство $f(x) = g(x)$ может выполняться только в том случае, когда обе части уравнения равны числу $M$. Таким образом, решение исходного уравнения сводится к поиску решений системы уравнений:

$f(x) = M$

$g(x) = M$

Решениями исходного уравнения будут только те значения $x$, которые удовлетворяют обоим уравнениям системы одновременно.

Рассмотрим применение этого метода на гипотетическом примере, который мог быть в задаче 4: решить уравнение $\cos(2\pi x) = x^2 - 2x + 2$.

Сначала оценим левую часть уравнения: $f(x) = \cos(2\pi x)$. Функция косинуса ограничена, её значения всегда находятся в отрезке $[-1, 1]$. Следовательно, $f(x) \le 1$.

Теперь оценим правую часть: $g(x) = x^2 - 2x + 2$. Это квадратичная функция. Чтобы найти её наименьшее значение, выделим полный квадрат: $g(x) = (x^2 - 2x + 1) + 1 = (x-1)^2 + 1$. Так как $(x-1)^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то наименьшее значение правой части равно 1, то есть $g(x) \ge 1$.

Итак, мы получили, что левая часть уравнения $\cos(2\pi x) \le 1$, а правая часть $(x-1)^2 + 1 \ge 1$. Равенство между ними возможно только тогда, когда обе части равны 1. Это приводит к системе двух уравнений:

$\cos(2\pi x) = 1$

$(x-1)^2 + 1 = 1$

Решим второе уравнение: $(x-1)^2 = 0$, откуда $x=1$.

Теперь необходимо проверить, является ли $x=1$ решением первого уравнения. Подставляем: $\cos(2\pi \cdot 1) = \cos(2\pi) = 1$. Равенство верное.

Поскольку $x=1$ является решением обоих уравнений системы, это единственное решение исходного уравнения.

Другой возможной идеей мог быть анализ монотонности функций. Если одна часть уравнения является строго возрастающей функцией, а другая — строго убывающей, то уравнение может иметь не более одного корня.

Ответ: Идея решения уравнения основана на методе оценки. Этот метод заключается в нахождении границ (максимального значения для одной части уравнения и минимального для другой). Если эти границы совпадают (например, $f(x) \le M$ и $g(x) \ge M$), то решение уравнения сводится к нахождению таких значений $x$, при которых обе части уравнения одновременно достигают этого граничного значения $M$.