Страница 189 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Установить, является ли число $-2$ корнем уравнения:

1) $x-1=-3;$

2) $(x-2)(x+3)=0;$

3) $\sqrt{x^2}=2;$

4) $|x|=2.$

Для того чтобы определить, является ли число $-2$ корнем уравнения, необходимо подставить это число вместо переменной $x$ в каждое из уравнений и проверить, выполняется ли равенство.

1) $x - 1 = -3$

Подставляем значение $x = -2$ в левую часть уравнения:

$-2 - 1 = -3$

Сравниваем с правой частью уравнения:

$-3 = -3$

Так как получилось верное числовое равенство, число $-2$ является корнем данного уравнения.

Ответ: да, является.

2) $(x - 2)(x + 3) = 0$

Подставляем значение $x = -2$ в левую часть уравнения:

$(-2 - 2)(-2 + 3) = (-4) \cdot (1) = -4$

Сравниваем с правой частью уравнения:

$-4 = 0$

Получилось неверное равенство, следовательно, число $-2$ не является корнем данного уравнения.

Ответ: нет, не является.

3) $\sqrt{x^2} = 2$

Подставляем значение $x = -2$ в левую часть уравнения:

$\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2$

Сравниваем с правой частью уравнения:

$2 = 2$

Получилось верное равенство. Это означает, что число $-2$ является корнем данного уравнения.

Ответ: да, является.

4) $|x| = 2$

Подставляем значение $x = -2$ в левую часть уравнения:

$|-2| = 2$

Сравниваем с правой частью уравнения:

$2 = 2$

По определению модуля числа, равенство является верным. Следовательно, число $-2$ является корнем данного уравнения.

Ответ: да, является.

2. Вычислить: $(\sqrt{7})^2$; $\sqrt{(-5)^2}$; $\sqrt{\frac{25}{49}}$; $\sqrt{36 \cdot 64}$.

$(\sqrt{7})^2$

По определению арифметического квадратного корня, для любого неотрицательного числа $a$ справедливо равенство $(\sqrt{a})^2 = a$. Это означает, что возведение в квадрат и извлечение квадратного корня — взаимообратные операции. В данном случае $a=7$, следовательно: $(\sqrt{7})^2 = 7$.

Ответ: 7.

$\sqrt{(-5)^2}$

Согласно правилам выполнения математических операций, сначала вычислим выражение под корнем. Возведем $-5$ в квадрат: $(-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25$. Теперь извлечем квадратный корень из полученного результата: $\sqrt{25} = 5$.
Также можно воспользоваться тождеством $\sqrt{a^2} = |a|$, где $|a|$ — это модуль (абсолютная величина) числа $a$. Применив его, получим: $\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5$.

Ответ: 5.

$\sqrt{\frac{25}{49}}$

Для вычисления корня из дроби используется свойство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (для $a \ge 0$ и $b > 0$). Применим это свойство к нашему выражению, извлекая корень из числителя и знаменателя по отдельности:
$\sqrt{\frac{25}{49}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{49}} = \frac{5}{7}$.

Ответ: $\frac{5}{7}$.

$\sqrt{36 \cdot 64}$

Для вычисления корня из произведения используется свойство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a \ge 0$ и $b \ge 0$). Это позволяет упростить вычисление, разбив его на два более простых действия:
$\sqrt{36 \cdot 64} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{64}$.
Теперь вычислим каждый корень: $\sqrt{36} = 6$ и $\sqrt{64} = 8$.
Перемножим результаты: $6 \cdot 8 = 48$.

Ответ: 48.

3. Разложить на множители:

1) $x^2 - 81$; 2) $3x^2 - 75$; 3) $x^2 - 2$;

4) $2x^2 - 10$; 5) $x^2 - 6x + 9$; 6) $x^2 + 8x$.

1) Для разложения выражения $x^2 - 81$ на множители воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
В нашем случае $a^2 = x^2$, значит $a = x$.
$b^2 = 81$, значит $b = \sqrt{81} = 9$.
Подставим значения в формулу: $x^2 - 81 = (x - 9)(x + 9)$.
Ответ: $(x - 9)(x + 9)$.

2) Сначала вынесем общий множитель за скобки. Общий множитель для $3x^2$ и $75$ это 3.
$3x^2 - 75 = 3(x^2 - 25)$.
Теперь выражение в скобках $x^2 - 25$ можно разложить по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Здесь $a = x$ и $b = \sqrt{25} = 5$.
Следовательно, $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$.
Итоговое разложение: $3(x - 5)(x + 5)$.
Ответ: $3(x - 5)(x + 5)$.

3) Выражение $x^2 - 2$ также является разностью квадратов, где $a = x$ и $b = \sqrt{2}$.
Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим 2 как $(\sqrt{2})^2$.
$x^2 - 2 = x^2 - (\sqrt{2})^2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$.
Ответ: $(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$.

4) В выражении $2x^2 - 10$ вынесем общий множитель 2 за скобки.
$2x^2 - 10 = 2(x^2 - 5)$.
Выражение в скобках $x^2 - 5$ является разностью квадратов.
Используем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x$ и $b = \sqrt{5}$.
$x^2 - 5 = x^2 - (\sqrt{5})^2 = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})$.
Окончательный вид разложения: $2(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})$.
Ответ: $2(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})$.

5) Выражение $x^2 - 6x + 9$ представляет собой полный квадрат разности.
Воспользуемся формулой квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
В нашем случае $a^2 = x^2$, значит $a = x$.
$b^2 = 9$, значит $b = 3$.
Проверим средний член: $-2ab = -2 \cdot x \cdot 3 = -6x$. Он совпадает с членом в исходном выражении.
Следовательно, $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.
Ответ: $(x - 3)^2$.

6) В выражении $x^2 + 8x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки.
$x^2 + 8x = x \cdot x + 8 \cdot x = x(x + 8)$.
Ответ: $x(x + 8)$.

4. Решить уравнение:

1) $3x - 7 = 0;$

2) $2x - 8 = 3x + 2;$

3) $(x + 12)(x - 4) = 0;$

4) $(x - 6)(2x + 1) = 0.$

1) $3x - 7 = 0$

Это линейное уравнение. Для его решения перенесем число -7 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный.

$3x = 7$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3.

$x = \frac{7}{3}$

Ответ: $x = \frac{7}{3}$.

2) $2x - 8 = 3x + 2$

Для решения этого линейного уравнения сгруппируем все слагаемые с переменной $x$ в левой части, а все числовые слагаемые — в правой. При переносе слагаемых из одной части в другую их знак меняется на противоположный.

$2x - 3x = 2 + 8$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения.

$-x = 10$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на -1.

$x = -10$

Ответ: $x = -10$.

3) $(x + 12)(x - 4) = 0$

Произведение двух или более множителей равно нулю в том и только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы можем приравнять каждую скобку к нулю и решить два получившихся простых уравнения.

Первый случай:

$x + 12 = 0$

$x_1 = -12$

Второй случай:

$x - 4 = 0$

$x_2 = 4$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = -12$, $x_2 = 4$.

4) $(x - 6)(2x + 1) = 0$

Используем тот же принцип, что и в предыдущем задании: произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Приравниваем каждый множитель к нулю.

Первый случай:

$x - 6 = 0$

$x_1 = 6$

Второй случай:

$2x + 1 = 0$

Перенесем 1 в правую часть:

$2x = -1$

Разделим на 2:

$x_2 = -\frac{1}{2}$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 6$, $x_2 = -\frac{1}{2}$.

468. (Устно.) Какие из данных уравнений являются квадратными:

1) $5x^2 - 14x + 17 = 0;$

2) $\frac{2}{3}x^2 + 4 = 0;$

3) $-7x^2 - 13x + 8 = 0;$

4) $17x + 24 = 0;$

5) $-13x^4 + 26 = 0;$

6) $x^2 - x = 0?$

Квадратным уравнением называется уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты), причем старший коэффициент $a$ не равен нулю ($a \neq 0$). Основным признаком квадратного уравнения является то, что наивысшая степень переменной в нем равна 2.

Рассмотрим каждое из данных уравнений:

1) $5x^2 - 14x + 17 = 0$
Данное уравнение полностью соответствует стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Здесь коэффициенты равны: $a = 5$, $b = -14$, $c = 17$. Так как старший коэффициент $a = 5 \neq 0$ и наивысшая степень переменной $x$ равна 2, это уравнение является квадратным.
Ответ: является квадратным.

2) $\frac{2}{3}x^2 + 4 = 0$
Это уравнение также является квадратным. Его можно представить в виде $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = \frac{2}{3}$, $b = 0$ и $c = 4$. Так как старший коэффициент $a = \frac{2}{3} \neq 0$, это уравнение является квадратным (в данном случае — неполным квадратным уравнением, так как коэффициент $b$ равен нулю).
Ответ: является квадратным.

3) $-7x^2 - 13x + 8 = 0$
Это уравнение также представлено в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$. Коэффициенты: $a = -7$, $b = -13$, $c = 8$. Старший коэффициент $a = -7 \neq 0$, наивысшая степень переменной равна 2. Следовательно, это квадратное уравнение.
Ответ: является квадратным.

4) $17x + 24 = 0$
В этом уравнении наивысшая степень переменной $x$ равна 1. Это уравнение является линейным. Для того чтобы уравнение было квадратным, старший коэффициент $a$ при $x^2$ должен быть отличен от нуля. Здесь он равен нулю.
Ответ: не является квадратным.

5) $-13x^4 + 26 = 0$
В данном уравнении наивысшая степень переменной $x$ равна 4. Такое уравнение не является квадратным, так как для квадратного уравнения старшая степень переменной должна быть равна 2. Это уравнение четвертой степени (биквадратное).
Ответ: не является квадратным.

6) $x^2 - x = 0$
Это уравнение можно привести к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 1$, $b = -1$ и $c = 0$. Поскольку старший коэффициент $a = 1 \neq 0$, данное уравнение является неполным квадратным уравнением (свободный член $c$ равен нулю).
Ответ: является квадратным.

Таким образом, квадратными являются уравнения под номерами 1, 2, 3 и 6.

469. (Устно.) Назвать коэффициенты и свободный член квадратного уравнения:

1) $5x^2 - 14x + 17 = 0;$

2) $\frac{2}{3}x^2 + 4 = 0;$

3) $-x^2 + x + \frac{1}{3} = 0;$

4) $-7x^2 - 13x + 8 = 0;$

5) $x^2 + 25x = 0;$

6) $-x^2 - x = 0.$

Общий вид квадратного уравнения — $ax^2 + bx + c = 0$, где $a$ и $b$ — коэффициенты, а $c$ — свободный член. Коэффициент $a$ называют старшим или первым коэффициентом, $b$ — вторым коэффициентом.

1) В уравнении $5x^2 - 14x + 17 = 0$ старший коэффициент $a = 5$, второй коэффициент $b = -14$, свободный член $c = 17$.

Ответ: коэффициенты 5 и -14, свободный член 17.

2) В уравнении $\frac{2}{3}x^2 + 4 = 0$ отсутствует слагаемое с переменной $x$ в первой степени, это означает, что второй коэффициент равен нулю. Таким образом, старший коэффициент $a = \frac{2}{3}$, второй коэффициент $b = 0$, свободный член $c = 4$.

Ответ: коэффициенты $\frac{2}{3}$ и 0, свободный член 4.

3) В уравнении $-x^2 + x + \frac{1}{3} = 0$ коэффициент при $x^2$ равен -1 (так как $-x^2 = -1 \cdot x^2$), а коэффициент при $x$ равен 1 (так как $x = 1 \cdot x$). Следовательно, старший коэффициент $a = -1$, второй коэффициент $b = 1$, свободный член $c = \frac{1}{3}$.

Ответ: коэффициенты -1 и 1, свободный член $\frac{1}{3}$.

4) В уравнении $-7x^2 - 13x + 8 = 0$ старший коэффициент $a = -7$, второй коэффициент $b = -13$, свободный член $c = 8$.

Ответ: коэффициенты -7 и -13, свободный член 8.

5) В уравнении $x^2 + 25x = 0$ отсутствует свободный член, это означает, что он равен нулю. Коэффициент при $x^2$ равен 1. Таким образом, старший коэффициент $a = 1$, второй коэффициент $b = 25$, свободный член $c = 0$.

Ответ: коэффициенты 1 и 25, свободный член 0.

6) В уравнении $-x^2 - x = 0$ старший коэффициент $a = -1$, второй коэффициент $b = -1$. Свободный член отсутствует, поэтому $c = 0$.

Ответ: коэффициенты -1 и -1, свободный член 0.

470. Записать квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$, если известны его коэффициенты:

1) $a=2, b=3, c=4$;

2) $a=-1, b=0, c=9$;

3) $a=1, b=-5, c=0$;

4) $a=1, b=0, c=0$.

Общий вид квадратного уравнения: $ax^2 + bx + c = 0$. Чтобы записать конкретное уравнение, нужно подставить заданные значения коэффициентов $a$, $b$ и $c$ в эту общую формулу.

1) Даны коэффициенты: $a=2, b=3, c=4$.
Подставляем эти значения в общую формулу: $(2) \cdot x^2 + (3) \cdot x + (4) = 0$.
После упрощения получаем уравнение: $2x^2 + 3x + 4 = 0$.
Ответ: $2x^2 + 3x + 4 = 0$.

2) Даны коэффициенты: $a=-1, b=0, c=9$.
Подставляем эти значения в общую формулу: $(-1) \cdot x^2 + (0) \cdot x + (9) = 0$.
Упрощаем выражение. Слагаемое $(0) \cdot x$ равно нулю, поэтому оно не записывается. Коэффициент $-1$ перед $x^2$ записывается как просто знак минус: $-x^2 + 9 = 0$.
Ответ: $-x^2 + 9 = 0$.

3) Даны коэффициенты: $a=1, b=-5, c=0$.
Подставляем эти значения в общую формулу: $(1) \cdot x^2 + (-5) \cdot x + (0) = 0$.
Упрощаем выражение. Свободный член, равный нулю, не записывается. Коэффициент $1$ перед $x^2$ обычно не пишется: $x^2 - 5x = 0$.
Ответ: $x^2 - 5x = 0$.

4) Даны коэффициенты: $a=1, b=0, c=0$.
Подставляем эти значения в общую формулу: $(1) \cdot x^2 + (0) \cdot x + (0) = 0$.
Упрощаем выражение. Слагаемые с коэффициентами $b$ и $c$ равны нулю, поэтому они не записываются. Коэффициент $1$ перед $x^2$ не пишется: $x^2 = 0$.
Ответ: $x^2 = 0$.

471. Привести данное уравнение к виду квадратного:

1) $x(x-3)=4;$

2) $(x-3)(x-1)=12;$

3) $3x(x-5)=x(x+1)-x^2;$

4) $7(x^2-1)=2(x+2)(x-2).$

1) Чтобы привести уравнение $x(x-3)=4$ к квадратному виду, необходимо раскрыть скобки и перенести все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$.

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:

$x \cdot x - x \cdot 3 = 4$

$x^2 - 3x = 4$

Теперь перенесем член из правой части в левую, изменив его знак:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Уравнение приведено к стандартному квадратному виду, где $a=1$, $b=-3$, $c=-4$.

Ответ: $x^2 - 3x - 4 = 0$

2) Чтобы привести уравнение $(x-3)(x-1)=12$ к квадратному виду, раскроем скобки в левой части, приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в одну сторону.

Перемножим скобки, используя правило умножения многочленов (каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго):

$x \cdot x + x \cdot (-1) - 3 \cdot x - 3 \cdot (-1) = 12$

$x^2 - x - 3x + 3 = 12$

Приводим подобные слагаемые в левой части:

$x^2 - 4x + 3 = 12$

Переносим 12 в левую часть с противоположным знаком:

$x^2 - 4x + 3 - 12 = 0$

$x^2 - 4x - 9 = 0$

Уравнение приведено к стандартному квадратному виду, где $a=1$, $b=-4$, $c=-9$.

Ответ: $x^2 - 4x - 9 = 0$

3) Для уравнения $3x(x-5) = x(x+1) - x^2$ сначала раскроем скобки в обеих частях.

Преобразуем левую часть: $3x(x-5) = 3x^2 - 15x$.

Преобразуем и упростим правую часть: $x(x+1) - x^2 = x^2 + x - x^2 = x$.

Теперь уравнение имеет вид:

$3x^2 - 15x = x$

Переносим все члены в левую часть:

$3x^2 - 15x - x = 0$

Приводим подобные слагаемые:

$3x^2 - 16x = 0$

Уравнение приведено к неполному квадратному виду, где $a=3$, $b=-16$, $c=0$.

Ответ: $3x^2 - 16x = 0$

4) Для уравнения $7(x^2-1) = 2(x+2)(x-2)$ раскроем скобки в обеих частях. В правой части можно применить формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Преобразуем левую часть: $7(x^2-1) = 7x^2 - 7$.

Преобразуем правую часть: $2(x+2)(x-2) = 2(x^2 - 2^2) = 2(x^2 - 4) = 2x^2 - 8$.

Уравнение принимает вид:

$7x^2 - 7 = 2x^2 - 8$

Переносим все члены из правой части в левую с противоположными знаками:

$7x^2 - 2x^2 - 7 + 8 = 0$

Приводим подобные слагаемые:

$5x^2 + 1 = 0$

Уравнение приведено к неполному квадратному виду, где $a=5$, $b=0$, $c=1$.

Ответ: $5x^2 + 1 = 0$

472. Какие из чисел -3, -2, 0, -1, 1, 2, 3 являются корнями уравнения:

1) $x^2 - 9 = 0;$

2) $x^2 + x - 6 = 0;$

3) $(x - 1)(x + 2) = 0;$

4) $x^2 - x = 0;$

5) $x^2 - 5x + 6 = 0;$

6) $(x + 1)(x - 3) = x?$

Чтобы определить, какие из чисел из набора $\{-3, -2, 0, -1, 1, 2, 3\}$ являются корнями уравнений, решим каждое уравнение и сравним его корни с числами из данного набора.

1) $x^2 - 9 = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Перенесем $9$ в правую часть:
$x^2 = 9$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x_1 = \sqrt{9} = 3$
$x_2 = -\sqrt{9} = -3$
Оба корня, $3$ и $-3$, содержатся в предложенном наборе чисел.
Ответ: $-3, 3$.

2) $x^2 + x - 6 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
$x_1 + x_2 = -1$
$x_1 \cdot x_2 = -6$
Методом подбора находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.
Оба корня, $2$ и $-3$, содержатся в предложенном наборе чисел.
Ответ: $-3, 2$.

3) $(x - 1)(x + 2) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
или
$x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$
Оба корня, $1$ и $-2$, содержатся в предложенном наборе чисел.
Ответ: $-2, 1$.

4) $x^2 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
$x_1 = 0$
или
$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$
Оба корня, $0$ и $1$, содержатся в предложенном наборе чисел.
Ответ: $0, 1$.

5) $x^2 - 5x + 6 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 5$
$x_1 \cdot x_2 = 6$
Методом подбора находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Оба корня, $2$ и $3$, содержатся в предложенном наборе чисел.
Ответ: $2, 3$.

6) $(x + 1)(x - 3) = x$
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$.
$x^2 - 3x + x - 3 = x$
$x^2 - 2x - 3 = x$
$x^2 - 3x - 3 = 0$
Найдем дискриминант, чтобы определить корни: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 9 + 12 = 21$.
Поскольку дискриминант $D=21$ не является полным квадратом, корни уравнения $x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}$ будут иррациональными числами. Следовательно, ни одно из целых чисел в предложенном наборе не является корнем этого уравнения.
Ответ: корней среди предложенных чисел нет.

473. (Устно.) Сколько корней имеет уравнение $x^2 = 36$? Найти их. Какой из них является арифметическим корнем из 36?

Сколько корней имеет уравнение $x^2=36$?

Данное уравнение является квадратным уравнением вида $x^2 = a$, где $a$ — положительное число. Уравнения такого типа всегда имеют два решения (два корня), так как в квадрат можно возвести как положительное, так и отрицательное число и получить положительный результат. Поскольку $36 > 0$, уравнение $x^2=36$ имеет два корня.
Ответ: Уравнение имеет 2 корня.

Найти их.

Для решения уравнения $x^2=36$ необходимо найти числа, которые при возведении в квадрат дают 36. Для этого извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$\sqrt{x^2} = \sqrt{36}$
$|x| = 6$
Это означает, что корнями уравнения являются числа $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$.
Проверка: $6^2 = 36$ и $(-6)^2 = 36$.
Ответ: Корни уравнения: 6 и -6.

Какой из них является арифметическим корнем из 36?

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ (обозначается как $\sqrt{a}$) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.
Из двух найденных корней, 6 и -6, только число 6 является неотрицательным. Следовательно, именно оно и является арифметическим корнем из 36.
$\sqrt{36} = 6$.
Ответ: Арифметическим корнем из 36 является 6.