Страница 182 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Сравнить:

a) 7 и $\sqrt{48}$;

б) $2\sqrt{3}$ и $3\sqrt{2}$.

а) Для того чтобы сравнить число 7 и $\sqrt{48}$, необходимо представить число 7 в виде квадратного корня. Для этого возведем 7 в квадрат и запишем результат под знаком корня:

$7 = \sqrt{7^2} = \sqrt{49}$

Теперь задача сводится к сравнению двух корней: $\sqrt{49}$ и $\sqrt{48}$.

Из двух положительных чисел больше то, квадрат которого больше. Также, для положительных чисел, если подкоренное выражение одного корня больше подкоренного выражения другого, то и значение первого корня больше. Сравним подкоренные выражения:

$49 > 48$

Следовательно, $\sqrt{49} > \sqrt{48}$.

Это означает, что $7 > \sqrt{48}$.

Ответ: $7 > \sqrt{48}$.

б) Чтобы сравнить выражения $2\sqrt{3}$ и $3\sqrt{2}$, внесем множители (коэффициенты перед корнями) под знак корня. Для этого нужно возвести множитель в квадрат и умножить на подкоренное выражение.

Для первого выражения $2\sqrt{3}$:

$2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$

Для второго выражения $3\sqrt{2}$:

$3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$

Теперь сравним полученные значения: $\sqrt{12}$ и $\sqrt{18}$.

Сравниваем подкоренные выражения:

$12 < 18$

Так как $12 < 18$, то и $\sqrt{12} < \sqrt{18}$.

Следовательно, $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$.

2. Вычислить:

а) $\sqrt{81 \cdot 49}$;

б) $\sqrt{0,3 \cdot 120}$;

в) $\frac{\sqrt{125}}{\sqrt{5}};

г) $\sqrt{2\frac{1}{4}};

д) $\sqrt{(-17)^2};

е) $\sqrt{3^6}$.

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt{81 \cdot 49}$ воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ для неотрицательных $a$ и $b$.

$\sqrt{81 \cdot 49} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{49} = 9 \cdot 7 = 63$.

Ответ: 63.

б) Для вычисления значения выражения $\sqrt{0,3 \cdot 120}$ сначала выполним умножение под знаком корня.

$0,3 \cdot 120 = 36$.

Теперь извлечем корень из полученного числа: $\sqrt{36} = 6$.

Ответ: 6.

в) Для вычисления значения выражения $\frac{\sqrt{125}}{\sqrt{5}}$ воспользуемся свойством частного корней: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ для $a \ge 0$ и $b > 0$.

$\frac{\sqrt{125}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{125}{5}} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: 5.

г) Для вычисления значения выражения $\sqrt{2\frac{1}{4}}$ сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби.

$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.

Теперь извлечем корень из дроби, используя свойство корня из частного: $\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2} = 1,5$.

Ответ: 1,5.

д) Для вычисления значения выражения $\sqrt{(-17)^2}$ воспользуемся тождеством $\sqrt{a^2} = |a|$.

$\sqrt{(-17)^2} = |-17| = 17$.

Также можно сначала выполнить возведение в квадрат под корнем: $(-17)^2 = 289$. Затем извлечь корень: $\sqrt{289}=17$.

Ответ: 17.

е) Для вычисления значения выражения $\sqrt{3^6}$ воспользуемся свойством корня из степени: $\sqrt{a^{2n}} = |a^n|$.

Представим $3^6$ как $(3^3)^2$.

$\sqrt{3^6} = \sqrt{(3^3)^2} = |3^3| = 3^3 = 27$.

Другой способ — использовать свойство степени с дробным показателем: $\sqrt{a^m} = a^{\frac{m}{2}}$.

$\sqrt{3^6} = 3^{\frac{6}{2}} = 3^3 = 27$.

Ответ: 27.

3. Упростить выражение:

а) $3\sqrt{8}+\sqrt{2}-3\sqrt{18}$;

б) $(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2$;

в) $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).

а) Чтобы упростить выражение $3\sqrt{8} + \sqrt{2} - 3\sqrt{18}$, нужно привести все слагаемые к общему радикалу. Для этого вынесем множители из-под знака корня.

Упростим каждый корень по отдельности:

1. $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

2. $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$

Теперь подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:

$3\sqrt{8} + \sqrt{2} - 3\sqrt{18} = 3 \cdot (2\sqrt{2}) + \sqrt{2} - 3 \cdot (3\sqrt{2})$

Выполним умножение:

$6\sqrt{2} + \sqrt{2} - 9\sqrt{2}$

Все слагаемые содержат $\sqrt{2}$, поэтому их можно сложить и вычесть, оперируя с коэффициентами перед корнем:

$(6 + 1 - 9)\sqrt{2} = -2\sqrt{2}$

Ответ: $-2\sqrt{2}$

б) Для упрощения выражения $(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2$ используем формулу сокращенного умножения "квадрат разности": $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном случае $a = \sqrt{5}$ и $b = \sqrt{2}$.

Применим формулу:

$(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2$

Теперь вычислим значение каждого члена:

1. $(\sqrt{5})^2 = 5$

2. $2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{5 \cdot 2} = 2\sqrt{10}$

3. $(\sqrt{2})^2 = 2$

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$5 - 2\sqrt{10} + 2$

Сложим целые числа:

$7 - 2\sqrt{10}$

Ответ: $7 - 2\sqrt{10}$

в) Выражение $(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})$ представляет собой произведение разности и суммы двух чисел. Для его упрощения применим формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае $a = 2$ и $b = \sqrt{3}$.

Применим формулу:

$(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2$

Вычислим квадраты:

$2^2 = 4$

$(\sqrt{3})^2 = 3$

Найдем их разность:

$4 - 3 = 1$

Ответ: $1$

Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{8a^3}$, необходимо разложить подкоренное выражение на множители, являющиеся полными квадратами, и множители, не являющиеся ими.

1. Разложим числовой и буквенный множители под корнем:

• Число 8 можно представить как произведение $4 \cdot 2$. Здесь 4 является полным квадратом, так как $\sqrt{4} = 2$.
• Степень $a^3$ можно представить как произведение $a^2 \cdot a$. Здесь $a^2$ является полным квадратом, так как $\sqrt{a^2} = |a|$.

2. Перепишем исходное выражение, используя полученные разложения:

$\sqrt{8a^3} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot a^2 \cdot a}$

3. Сгруппируем множители, являющиеся полными квадратами, и применим свойство корня из произведения $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$:

$\sqrt{(4a^2) \cdot (2a)} = \sqrt{4a^2} \cdot \sqrt{2a}$

4. Извлечем корень из части, содержащей полные квадраты:

$\sqrt{4a^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{a^2} = 2 \cdot |a|$

По условию задачи $a \ge 0$, поэтому модуль $|a|$ раскрывается как $a$. Таким образом, $\sqrt{4a^2} = 2a$.

5. Подставим полученный результат обратно в выражение:

$2a \cdot \sqrt{2a}$ или $2a\sqrt{2a}$

Ответ: $2a\sqrt{2a}$