Страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

450. Упростить:

1) $3\sqrt{20} + \sqrt{28} + \sqrt{45} - \sqrt{63};$

2) $\left(2\sqrt{\frac{2}{3}} - 8\sqrt{\frac{3}{8}} + 3\sqrt{\frac{3}{2}}\right) \cdot 3\sqrt{\frac{3}{2}};$

3) $(6\sqrt{45} - 3\sqrt{20} + 9\sqrt{80}) : (3\sqrt{5});$

4) $(7\sqrt{8} - 14\sqrt{18} + 0,7\sqrt{12}) : (7\sqrt{2});$

5) $\frac{5}{1+\sqrt{6}} + \frac{6}{3+\sqrt{6}};$

6) $\frac{6}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} - \frac{4}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}.$

1) Упростим каждое слагаемое, вынеся множитель из-под знака корня, а затем приведем подобные слагаемые.
$3\sqrt{20} = 3\sqrt{4 \cdot 5} = 3 \cdot 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$
$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$
$\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$
Подставим упрощенные значения в исходное выражение:
$3\sqrt{20} + \sqrt{28} + \sqrt{45} - \sqrt{63} = 6\sqrt{5} + 2\sqrt{7} + 3\sqrt{5} - 3\sqrt{7}$
Сгруппируем и сложим подобные слагаемые:
$(6\sqrt{5} + 3\sqrt{5}) + (2\sqrt{7} - 3\sqrt{7}) = 9\sqrt{5} - \sqrt{7}$
Ответ: $9\sqrt{5} - \sqrt{7}$

2) Раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на $3\sqrt{\frac{3}{2}}$.
$\left(2\sqrt{\frac{2}{3}} - 8\sqrt{\frac{3}{8}} + 3\sqrt{\frac{3}{2}}\right) \cdot 3\sqrt{\frac{3}{2}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot 3\sqrt{\frac{3}{2}} - 8\sqrt{\frac{3}{8}} \cdot 3\sqrt{\frac{3}{2}} + 3\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot 3\sqrt{\frac{3}{2}}$
Упростим каждое произведение, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:
$6\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 2}} - 24\sqrt{\frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 2}} + 9 \cdot \frac{3}{2} = 6\sqrt{1} - 24\sqrt{\frac{9}{16}} + \frac{27}{2}$
Извлечем корни и выполним вычисления:
$= 6 \cdot 1 - 24 \cdot \frac{3}{4} + \frac{27}{2} = 6 - 18 + 13.5 = -12 + 13.5 = 1.5$
Представим результат в виде обыкновенной дроби: $1.5 = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$

3) Сначала упростим выражение в скобках, вынеся множители из-под знаков корней.
$6\sqrt{45} = 6\sqrt{9 \cdot 5} = 6 \cdot 3\sqrt{5} = 18\sqrt{5}$
$3\sqrt{20} = 3\sqrt{4 \cdot 5} = 3 \cdot 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$
$9\sqrt{80} = 9\sqrt{16 \cdot 5} = 9 \cdot 4\sqrt{5} = 36\sqrt{5}$
Подставим упрощенные значения в скобки и приведем подобные слагаемые:
$(18\sqrt{5} - 6\sqrt{5} + 36\sqrt{5}) = (18 - 6 + 36)\sqrt{5} = 48\sqrt{5}$
Теперь выполним деление:
$(48\sqrt{5}) : (3\sqrt{5}) = \frac{48\sqrt{5}}{3\sqrt{5}} = 16$
Ответ: $16$

4) Упростим выражение в скобках, вынеся множители из-под знаков корней.
$7\sqrt{8} = 7\sqrt{4 \cdot 2} = 7 \cdot 2\sqrt{2} = 14\sqrt{2}$
$14\sqrt{18} = 14\sqrt{9 \cdot 2} = 14 \cdot 3\sqrt{2} = 42\sqrt{2}$
$0.7\sqrt{12} = 0.7\sqrt{4 \cdot 3} = 0.7 \cdot 2\sqrt{3} = 1.4\sqrt{3}$
Подставим упрощенные значения в скобки:
$(14\sqrt{2} - 42\sqrt{2} + 1.4\sqrt{3}) = -28\sqrt{2} + 1.4\sqrt{3}$
Теперь выполним деление, разделив каждый член скобок на $7\sqrt{2}$:
$\frac{-28\sqrt{2} + 1.4\sqrt{3}}{7\sqrt{2}} = \frac{-28\sqrt{2}}{7\sqrt{2}} + \frac{1.4\sqrt{3}}{7\sqrt{2}} = -4 + \frac{0.2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
Избавимся от иррациональности во втором слагаемом, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$-4 + \frac{0.2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -4 + \frac{0.2\sqrt{6}}{2} = -4 + 0.1\sqrt{6}$
Ответ: $-4 + 0.1\sqrt{6}$

5) Чтобы сложить дроби, избавимся от иррациональности в знаменателе каждой из них. Для этого домножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение.
Для первой дроби сопряженное выражение равно $1-\sqrt{6}$:
$\frac{5}{1+\sqrt{6}} = \frac{5(1-\sqrt{6})}{(1+\sqrt{6})(1-\sqrt{6})} = \frac{5 - 5\sqrt{6}}{1^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{5 - 5\sqrt{6}}{1 - 6} = \frac{5 - 5\sqrt{6}}{-5} = -1 + \sqrt{6}$
Для второй дроби сопряженное выражение равно $3-\sqrt{6}$:
$\frac{6}{3+\sqrt{6}} = \frac{6(3-\sqrt{6})}{(3+\sqrt{6})(3-\sqrt{6})} = \frac{18 - 6\sqrt{6}}{3^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{18 - 6\sqrt{6}}{9 - 6} = \frac{18 - 6\sqrt{6}}{3} = 6 - 2\sqrt{6}$
Теперь сложим полученные выражения:
$(-1 + \sqrt{6}) + (6 - 2\sqrt{6}) = (-1 + 6) + (\sqrt{6} - 2\sqrt{6}) = 5 - \sqrt{6}$
Ответ: $5 - \sqrt{6}$

6) Избавимся от иррациональности в знаменателях, домножив числитель и знаменатель каждой дроби на сопряженное знаменателю выражение.
Для первой дроби сопряженное выражение равно $\sqrt{2}+\sqrt{3}$:
$\frac{6}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{6(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})} = \frac{6\sqrt{2} + 6\sqrt{3}}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{6\sqrt{2} + 6\sqrt{3}}{2 - 3} = \frac{6\sqrt{2} + 6\sqrt{3}}{-1} = -6\sqrt{2} - 6\sqrt{3}$
Для второй дроби сопряженное выражение равно $\sqrt{2}-\sqrt{3}$:
$\frac{4}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})} = \frac{4\sqrt{2} - 4\sqrt{3}}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{4\sqrt{2} - 4\sqrt{3}}{2 - 3} = \frac{4\sqrt{2} - 4\sqrt{3}}{-1} = -4\sqrt{2} + 4\sqrt{3}$
Теперь выполним вычитание:
$(-6\sqrt{2} - 6\sqrt{3}) - (-4\sqrt{2} + 4\sqrt{3}) = -6\sqrt{2} - 6\sqrt{3} + 4\sqrt{2} - 4\sqrt{3}$
Сгруппируем и сложим подобные слагаемые:
$(-6\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) + (-6\sqrt{3} - 4\sqrt{3}) = -2\sqrt{2} - 10\sqrt{3}$
Ответ: $-2\sqrt{2} - 10\sqrt{3}$

451. Сократить дробь:

1) $\frac{5a^2 - 35}{a - \sqrt{7}}}$;

2) $\frac{x^3 - 3x}{x + \sqrt{3}}}$;

3) $\frac{5x - 5\sqrt{3}}{3 - x^2}}}$;

4) $\frac{4\sqrt{a} + \sqrt{b}}{b - 16a}}}$;

5) $\frac{9 - 2\sqrt{3}}{3\sqrt{6} - 2\sqrt{2}}}$.

1) Исходная дробь: $ \frac{5a^2 - 35}{a - \sqrt{7}} $.
Сначала вынесем общий множитель 5 за скобки в числителе:
$ 5a^2 - 35 = 5(a^2 - 7) $.
Теперь разложим выражение в скобках по формуле разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $. Заметим, что $ 7 = (\sqrt{7})^2 $.
$ a^2 - 7 = a^2 - (\sqrt{7})^2 = (a - \sqrt{7})(a + \sqrt{7}) $.
Подставим разложенный числитель обратно в дробь:
$ \frac{5(a - \sqrt{7})(a + \sqrt{7})}{a - \sqrt{7}} $.
Сократим общий множитель $ (a - \sqrt{7}) $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ a \neq \sqrt{7} $):
$ 5(a + \sqrt{7}) $.
Ответ: $ 5(a + \sqrt{7}) $.

2) Исходная дробь: $ \frac{x^3 - 3x}{x + \sqrt{3}} $.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки в числителе:
$ x^3 - 3x = x(x^2 - 3) $.
Выражение в скобках является разностью квадратов, так как $ 3 = (\sqrt{3})^2 $.
$ x^2 - 3 = x^2 - (\sqrt{3})^2 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) $.
Подставим разложенный числитель в дробь:
$ \frac{x(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})}{x + \sqrt{3}} $.
Сократим общий множитель $ (x + \sqrt{3}) $ (при условии, что $ x \neq -\sqrt{3} $):
$ x(x - \sqrt{3}) $.
Ответ: $ x(x - \sqrt{3}) $.

3) Исходная дробь: $ \frac{5x - 5\sqrt{3}}{3 - x^2} $.
В числителе вынесем за скобки общий множитель 5:
$ 5x - 5\sqrt{3} = 5(x - \sqrt{3}) $.
Знаменатель $ 3 - x^2 $ разложим по формуле разности квадратов:
$ 3 - x^2 = (\sqrt{3})^2 - x^2 = (\sqrt{3} - x)(\sqrt{3} + x) $.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:
$ \frac{5(x - \sqrt{3})}{(\sqrt{3} - x)(\sqrt{3} + x)} $.
Заметим, что $ (x - \sqrt{3}) = -(\sqrt{3} - x) $. Заменим множитель в числителе:
$ \frac{-5(\sqrt{3} - x)}{(\sqrt{3} - x)(\sqrt{3} + x)} $.
Сократим общий множитель $ (\sqrt{3} - x) $ (при условии, что $ x \neq \sqrt{3} $):
$ \frac{-5}{\sqrt{3} + x} $.
Ответ: $ -\frac{5}{x + \sqrt{3}} $.

4) Исходная дробь: $ \frac{4\sqrt{a} + \sqrt{b}}{b - 16a} $.
Рассмотрим знаменатель $ b - 16a $. Его можно представить в виде разности квадратов, учитывая, что $ b = (\sqrt{b})^2 $ и $ 16a = (4\sqrt{a})^2 $ (при $ a \ge 0, b \ge 0 $).
$ b - 16a = (\sqrt{b})^2 - (4\sqrt{a})^2 = (\sqrt{b} - 4\sqrt{a})(\sqrt{b} + 4\sqrt{a}) $.
Подставим разложенный знаменатель в дробь:
$ \frac{4\sqrt{a} + \sqrt{b}}{(\sqrt{b} - 4\sqrt{a})(\sqrt{b} + 4\sqrt{a})} $.
Числитель $ 4\sqrt{a} + \sqrt{b} $ совпадает с одним из множителей в знаменателе $ (\sqrt{b} + 4\sqrt{a}) $. Сократим на этот множитель:
$ \frac{1}{\sqrt{b} - 4\sqrt{a}} $.
Ответ: $ \frac{1}{\sqrt{b} - 4\sqrt{a}} $.

5) Исходная дробь: $ \frac{9 - 2\sqrt{3}}{3\sqrt{6} - 2\sqrt{2}} $.
Преобразуем знаменатель, вынеся общий множитель. Заметим, что $ \sqrt{6} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} $.
$ 3\sqrt{6} - 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\sqrt{3} - 2\sqrt{2} $.
Вынесем $ \sqrt{2} $ за скобки:
$ \sqrt{2}(3\sqrt{3} - 2) $.
Теперь преобразуем числитель, чтобы найти общий множитель со знаменателем. Вынесем $ \sqrt{3} $ за скобки из числителя:
$ 9 - 2\sqrt{3} = 3 \cdot (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}(3\sqrt{3}) - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}(3\sqrt{3} - 2) $.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:
$ \frac{\sqrt{3}(3\sqrt{3} - 2)}{\sqrt{2}(3\sqrt{3} - 2)} $.
Сократим общий множитель $ (3\sqrt{3} - 2) $:
$ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $:
$ \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{6}}{2} $.

452. Решить уравнение:

1) $\sqrt{x-1}=4;$

2) $\sqrt{x+9}=5;$

3) $\sqrt{2(x-1)}=2;$

4) $\sqrt{2x-7}=1.$

1) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{x-1} = 4$.
Для его решения сначала определим Область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x - 1 \ge 0$
$x \ge 1$
Теперь, чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x-1})^2 = 4^2$
$x - 1 = 16$
Решим полученное линейное уравнение, перенеся -1 в правую часть:
$x = 16 + 1$
$x = 17$
Проверим, соответствует ли найденный корень ОДЗ. Так как $17 \ge 1$, корень является решением.
Для уверенности выполним проверку, подставив $x=17$ в исходное уравнение:
$\sqrt{17-1} = \sqrt{16} = 4$.
$4 = 4$. Равенство верно.
Ответ: 17

2) Дано уравнение $\sqrt{x+9} = 5$.
Определим ОДЗ:
$x + 9 \ge 0$
$x \ge -9$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+9})^2 = 5^2$
$x + 9 = 25$
Найдем $x$:
$x = 25 - 9$
$x = 16$
Корень $x=16$ удовлетворяет условию $x \ge -9$.
Проверка:
$\sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.
$5 = 5$. Равенство верно.
Ответ: 16

3) Дано уравнение $\sqrt{2(x-1)} = 2$.
Определим ОДЗ:
$2(x-1) \ge 0$
$x-1 \ge 0$
$x \ge 1$
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{2(x-1)})^2 = 2^2$
$2(x-1) = 4$
Разделим обе части на 2:
$x-1 = 2$
Найдем $x$:
$x = 2 + 1$
$x = 3$
Корень $x=3$ удовлетворяет условию $x \ge 1$.
Проверка:
$\sqrt{2(3-1)} = \sqrt{2 \cdot 2} = \sqrt{4} = 2$.
$2 = 2$. Равенство верно.
Ответ: 3

4) Дано уравнение $\sqrt{2x-7} = 1$.
Определим ОДЗ:
$2x - 7 \ge 0$
$2x \ge 7$
$x \ge 3.5$
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{2x-7})^2 = 1^2$
$2x - 7 = 1$
Решим уравнение:
$2x = 1 + 7$
$2x = 8$
$x = 4$
Корень $x=4$ удовлетворяет условию $x \ge 3.5$.
Проверка:
$\sqrt{2 \cdot 4 - 7} = \sqrt{8-7} = \sqrt{1} = 1$.
$1 = 1$. Равенство верно.
Ответ: 4

453. При каких значениях x справедливо равенство:

1) $|x - 2| = x - 2;$

2) $|3 - x| = x - 3;$

3) $\sqrt{(x + 3)^2} = x + 3;$

4) $\sqrt{(5 - 2x)^2} = 2x - 5?$

1) Равенство $|x-2| = x-2$ справедливо, когда выражение под знаком модуля неотрицательно. Это следует из определения модуля: $|a| = a$ при $a \ge 0$. Следовательно, необходимо решить неравенство: $x-2 \ge 0$ $x \ge 2$
Ответ: $x \in [2; +\infty)$.

2) Равенство $|3-x| = x-3$ можно переписать, заметив, что $x-3 = -(3-x)$. Таким образом, уравнение принимает вид $|a| = -a$. Это равенство верно, когда выражение под знаком модуля неположительно, то есть $a \le 0$. В данном случае $a = 3-x$. Решим неравенство: $3-x \le 0$ $3 \le x$
Ответ: $x \in [3; +\infty)$.

3) Используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$. Тогда исходное равенство $\sqrt{(x+3)^2} = x+3$ можно переписать в виде: $|x+3| = x+3$ Это равенство, как и в пункте 1, справедливо, когда выражение под знаком модуля неотрицательно. $x+3 \ge 0$ $x \ge -3$
Ответ: $x \in [-3; +\infty)$.

4) Используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$. Тогда исходное равенство $\sqrt{(5-2x)^2} = 2x-5$ можно переписать в виде: $|5-2x| = 2x-5$ Заметим, что $2x-5 = -(5-2x)$. Таким образом, равенство имеет вид $|a| = -a$, где $a = 5-2x$. Это верно, когда $a \le 0$. Решим неравенство: $5-2x \le 0$ $5 \le 2x$ $2.5 \le x$
Ответ: $x \in [2.5; +\infty)$.

454. Упростить выражение:

1) $y = \sqrt{x^2 - 2x + 1} + \sqrt{x^2 - 6x + 9}$ при:

а) $x < 1;$

б) $1 \le x \le 3;$

в) $x > 3.$

2) $y = \sqrt{a^2 - 4a + 4} + \sqrt{a^2 - 10a + 25}$ при:

а) $a < 2;$

б) $2 \le a \le 5;$

в) $a > 5.$

1)

Исходное выражение: $y = \sqrt{x^2 - 2x + 1} + \sqrt{x^2 - 6x + 9}$.

Заметим, что выражения под корнями являются формулами квадрата разности:

$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$

$x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$y = \sqrt{(x-1)^2} + \sqrt{(x-3)^2}$

По определению арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, поэтому:

$y = |x-1| + |x-3|$

Теперь рассмотрим каждый из заданных промежутков.

а) при $x < 1$

В этом случае оба выражения под знаком модуля отрицательны:

$x - 1 < 0$, следовательно $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.

$x - 3 < 1 - 3 = -2 < 0$, следовательно $|x-3| = -(x-3) = 3-x$.

Подставляем раскрытые модули в выражение для $y$:

$y = (1-x) + (3-x) = 1 - x + 3 - x = 4 - 2x$.

Ответ: $4 - 2x$

б) при $1 \le x \le 3$

В этом случае:

$x - 1 \ge 0$, следовательно $|x-1| = x-1$.

$x - 3 \le 0$, следовательно $|x-3| = -(x-3) = 3-x$.

Подставляем раскрытые модули в выражение для $y$:

$y = (x-1) + (3-x) = x - 1 + 3 - x = 2$.

Ответ: $2$

в) при $x > 3$

В этом случае оба выражения под знаком модуля положительны:

$x - 1 > 3 - 1 = 2 > 0$, следовательно $|x-1| = x-1$.

$x - 3 > 0$, следовательно $|x-3| = x-3$.

Подставляем раскрытые модули в выражение для $y$:

$y = (x-1) + (x-3) = x - 1 + x - 3 = 2x - 4$.

Ответ: $2x - 4$

2)

Исходное выражение: $y = \sqrt{a^2 - 4a + 4} + \sqrt{a^2 - 10a + 25}$.

Упростим подкоренные выражения, используя формулу квадрата разности:

$a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$

$a^2 - 10a + 25 = (a-5)^2$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$y = \sqrt{(a-2)^2} + \sqrt{(a-5)^2}$

Используя свойство $\sqrt{b^2} = |b|$, получаем:

$y = |a-2| + |a-5|$

Теперь рассмотрим каждый из заданных промежутков.

а) при $a < 2$

В этом случае оба выражения под знаком модуля отрицательны:

$a - 2 < 0$, следовательно $|a-2| = -(a-2) = 2-a$.

$a - 5 < 2 - 5 = -3 < 0$, следовательно $|a-5| = -(a-5) = 5-a$.

Подставляем раскрытые модули в выражение для $y$:

$y = (2-a) + (5-a) = 2 - a + 5 - a = 7 - 2a$.

Ответ: $7 - 2a$

б) при $2 \le a \le 5$

В этом случае:

$a - 2 \ge 0$, следовательно $|a-2| = a-2$.

$a - 5 \le 0$, следовательно $|a-5| = -(a-5) = 5-a$.

Подставляем раскрытые модули в выражение для $y$:

$y = (a-2) + (5-a) = a - 2 + 5 - a = 3$.

Ответ: $3$

в) при $a > 5$

В этом случае оба выражения под знаком модуля положительны:

$a - 2 > 5 - 2 = 3 > 0$, следовательно $|a-2| = a-2$.

$a - 5 > 0$, следовательно $|a-5| = a-5$.

Подставляем раскрытые модули в выражение для $y$:

$y = (a-2) + (a-5) = a - 2 + a - 5 = 2a - 7$.

Ответ: $2a - 7$

455 Найти значение выражения $2x^2 - 5ax + 2a^2$ при $x = \sqrt{6} + \sqrt{5}$ и $a = \sqrt{6} - \sqrt{5}$.

Для нахождения значения выражения $2x^2 - 5ax + 2a^2$ при заданных $x = \sqrt{6} + \sqrt{5}$ и $a = \sqrt{6} - \sqrt{5}$, удобнее сначала упростить само выражение, а затем подставить в него значения.

1. Упрощение выражения

Заметим, что переменные $x$ и $a$ являются сопряженными иррациональными числами. Это свойство позволяет легко найти их сумму и произведение.

Найдем сумму $x+a$:
$x+a = (\sqrt{6} + \sqrt{5}) + (\sqrt{6} - \sqrt{5}) = 2\sqrt{6}$.

Найдем произведение $xa$, используя формулу разности квадратов $(c+d)(c-d) = c^2 - d^2$:
$xa = (\sqrt{6} + \sqrt{5})(\sqrt{6} - \sqrt{5}) = (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2 = 6 - 5 = 1$.

Теперь преобразуем исходное выражение $2x^2 - 5ax + 2a^2$, чтобы выразить его через $x+a$ и $xa$. Для этого сгруппируем члены с квадратами и вынесем общий множитель 2:
$2x^2 - 5ax + 2a^2 = 2(x^2 + a^2) - 5ax$.

Используем известное тождество $(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$, из которого можно выразить сумму квадратов: $x^2 + a^2 = (x+a)^2 - 2ax$.
Подставим это выражение в нашу формулу:

$2((x+a)^2 - 2ax) - 5ax = 2(x+a)^2 - 4ax - 5ax = 2(x+a)^2 - 9ax$.

2. Вычисление значения

Мы получили упрощенное выражение $2(x+a)^2 - 9ax$. Теперь подставим в него ранее найденные значения $x+a = 2\sqrt{6}$ и $xa = 1$:
$2(2\sqrt{6})^2 - 9 \cdot 1 = 2(2^2 \cdot (\sqrt{6})^2) - 9 = 2(4 \cdot 6) - 9 = 2(24) - 9 = 48 - 9 = 39$.

Ответ: 39

456. Упростить выражение:

1) $(\sqrt{ab} - \frac{ab}{a + \sqrt{ab}}) : \frac{a^2b}{a - b}$;

2) $(\frac{a + \sqrt{b}}{a - \sqrt{b}} + \frac{a - \sqrt{b}}{a + \sqrt{b}}) \cdot \frac{a - \sqrt{b}}{a^2 + b}$;

3) $(\frac{c - \sqrt{d}}{c + \sqrt{d}} - \frac{c + \sqrt{d}}{c - \sqrt{d}}) : \frac{2c\sqrt{d}}{c + \sqrt{d}}$;

4) $(2 + \sqrt{b})(\frac{2}{\sqrt{b} + 2} - \frac{2}{2 - \sqrt{b}} + \frac{2b}{4 - b})$.

1) Упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $a+\sqrt{ab}$:
$\sqrt{ab} - \frac{ab}{a+\sqrt{ab}} = \frac{\sqrt{ab}(a+\sqrt{ab}) - ab}{a+\sqrt{ab}} = \frac{a\sqrt{ab} + (\sqrt{ab})^2 - ab}{a+\sqrt{ab}} = \frac{a\sqrt{ab} + ab - ab}{a+\sqrt{ab}} = \frac{a\sqrt{ab}}{a+\sqrt{ab}}$.
Теперь выполним деление. Для этого заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:
$\frac{a\sqrt{ab}}{a+\sqrt{ab}} : \frac{a^2b}{a-b} = \frac{a\sqrt{ab}}{a+\sqrt{ab}} \cdot \frac{a-b}{a^2b}$.
Разложим на множители $a+\sqrt{ab} = \sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ и $a-b = (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$:
$\frac{a\sqrt{ab}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} \cdot \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a^2b}$.
Сократим общие множители $(\sqrt{a}+\sqrt{b})$. Также можно упростить $\frac{a\sqrt{ab}}{\sqrt{a}} = \frac{a\sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = a\sqrt{b}$:
$a\sqrt{b} \cdot \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a^2b} = \frac{a\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a^2b}$.
Сократим $a$ и раскроем скобки в числителе:
$\frac{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{ab} = \frac{\sqrt{ab}-b}{ab}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{ab}-b}{ab}$.

2) Сначала упростим выражение в скобках. Общий знаменатель будет $(a-\sqrt{b})(a+\sqrt{b}) = a^2-b$.
$\frac{a+\sqrt{b}}{a-\sqrt{b}} + \frac{a-\sqrt{b}}{a+\sqrt{b}} = \frac{(a+\sqrt{b})^2 + (a-\sqrt{b})^2}{(a-\sqrt{b})(a+\sqrt{b})} = \frac{(a^2+2a\sqrt{b}+b) + (a^2-2a\sqrt{b}+b)}{a^2-b} = \frac{2a^2+2b}{a^2-b} = \frac{2(a^2+b)}{a^2-b}$.
Теперь умножим результат на вторую дробь:
$\frac{2(a^2+b)}{a^2-b} \cdot \frac{a-\sqrt{b}}{a^2+b}$.
Сократим общий множитель $(a^2+b)$:
$\frac{2(a-\sqrt{b})}{a^2-b}$.
Разложим знаменатель по формуле разности квадратов $a^2-b = (a-\sqrt{b})(a+\sqrt{b})$:
$\frac{2(a-\sqrt{b})}{(a-\sqrt{b})(a+\sqrt{b})}$.
Сократим $(a-\sqrt{b})$:
$\frac{2}{a+\sqrt{b}}$.
Ответ: $\frac{2}{a+\sqrt{b}}$.

3) Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $(c+\sqrt{d})(c-\sqrt{d}) = c^2-d$.
$\frac{c-\sqrt{d}}{c+\sqrt{d}} - \frac{c+\sqrt{d}}{c-\sqrt{d}} = \frac{(c-\sqrt{d})^2 - (c+\sqrt{d})^2}{(c+\sqrt{d})(c-\sqrt{d})} = \frac{(c^2-2c\sqrt{d}+d) - (c^2+2c\sqrt{d}+d)}{c^2-d} = \frac{-4c\sqrt{d}}{c^2-d}$.
Теперь выполним деление:
$\frac{-4c\sqrt{d}}{c^2-d} : \frac{2c\sqrt{d}}{c+\sqrt{d}} = \frac{-4c\sqrt{d}}{c^2-d} \cdot \frac{c+\sqrt{d}}{2c\sqrt{d}}$.
Сократим общий множитель $2c\sqrt{d}$:
$\frac{-2(c+\sqrt{d})}{c^2-d}$.
Разложим знаменатель $c^2-d = (c-\sqrt{d})(c+\sqrt{d})$:
$\frac{-2(c+\sqrt{d})}{(c-\sqrt{d})(c+\sqrt{d})}$.
Сократим $(c+\sqrt{d})$:
$\frac{-2}{c-\sqrt{d}}$.
Ответ: $\frac{-2}{c-\sqrt{d}}$.

4) Упростим выражение в больших скобках. Заметим, что $4-b = (2-\sqrt{b})(2+\sqrt{b})$, поэтому это будет общий знаменатель.
$\frac{2}{\sqrt{b}+2} - \frac{2}{2-\sqrt{b}} + \frac{2b}{4-b} = \frac{2(2-\sqrt{b})}{(2+\sqrt{b})(2-\sqrt{b})} - \frac{2(2+\sqrt{b})}{(2-\sqrt{b})(2+\sqrt{b})} + \frac{2b}{4-b}$.
Приведем все дроби к общему знаменателю $4-b$ и сложим числители:
$\frac{2(2-\sqrt{b}) - 2(2+\sqrt{b}) + 2b}{4-b} = \frac{4-2\sqrt{b} - 4-2\sqrt{b} + 2b}{4-b} = \frac{2b-4\sqrt{b}}{4-b}$.
Вынесем в числителе общий множитель $2\sqrt{b}$, а в знаменателе используем формулу разности квадратов:
$\frac{2\sqrt{b}(\sqrt{b}-2)}{(2-\sqrt{b})(2+\sqrt{b})} = \frac{-2\sqrt{b}(2-\sqrt{b})}{(2-\sqrt{b})(2+\sqrt{b})}$.
Сократим общий множитель $(2-\sqrt{b})$:
$\frac{-2\sqrt{b}}{2+\sqrt{b}}$.
Теперь умножим полученное выражение на множитель перед скобками:
$(2+\sqrt{b}) \cdot \left(\frac{-2\sqrt{b}}{2+\sqrt{b}}\right)$.
Сократим $(2+\sqrt{b})$:
$-2\sqrt{b}$.
Ответ: $-2\sqrt{b}$.

457. Сумма двух чисел равна $\sqrt{14}$, а их разность $\sqrt{10}$. Доказать, что произведение этих чисел равно 1.

Пусть искомые числа - это $x$ и $y$.

Согласно условию задачи, мы имеем два равенства:

1. Сумма чисел: $x + y = \sqrt{14}$

2. Разность чисел: $x - y = \sqrt{10}$

Нам необходимо доказать, что произведение этих чисел, $xy$, равно 1.

Для этого возведем в квадрат левые и правые части обоих равенств:

$(x + y)^2 = (\sqrt{14})^2$

$(x - y)^2 = (\sqrt{10})^2$

Используя формулы квадрата суммы и квадрата разности, $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$, раскроем скобки:

$x^2 + 2xy + y^2 = 14$

$x^2 - 2xy + y^2 = 10$

Мы получили систему из двух уравнений. Вычтем второе уравнение из первого:

$(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 14 - 10$

Раскроем скобки в левой части равенства:

$x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2 = 4$

Приведем подобные слагаемые:

$4xy = 4$

Теперь разделим обе части уравнения на 4, чтобы найти произведение $xy$:

$xy = \frac{4}{4}$

$xy = 1$

Таким образом, мы доказали, что произведение данных чисел действительно равно 1.

Ответ: Произведение этих чисел равно 1, что и требовалось доказать.