Номер 457, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 4. Глава 4. Квадратные корни - номер 457, страница 178.

Условие.

457. Сумма двух чисел равна $\sqrt{14}$, а их разность $\sqrt{10}$. Доказать, что произведение этих чисел равно 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть искомые числа - это $x$ и $y$.

Согласно условию задачи, мы имеем два равенства:

1. Сумма чисел: $x + y = \sqrt{14}$

2. Разность чисел: $x - y = \sqrt{10}$

Нам необходимо доказать, что произведение этих чисел, $xy$, равно 1.

Для этого возведем в квадрат левые и правые части обоих равенств:

$(x + y)^2 = (\sqrt{14})^2$

$(x - y)^2 = (\sqrt{10})^2$

Используя формулы квадрата суммы и квадрата разности, $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$, раскроем скобки:

$x^2 + 2xy + y^2 = 14$

$x^2 - 2xy + y^2 = 10$

Мы получили систему из двух уравнений. Вычтем второе уравнение из первого:

$(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 14 - 10$

Раскроем скобки в левой части равенства:

$x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2 = 4$

Приведем подобные слагаемые:

$4xy = 4$

Теперь разделим обе части уравнения на 4, чтобы найти произведение $xy$:

$xy = \frac{4}{4}$

$xy = 1$

Таким образом, мы доказали, что произведение данных чисел действительно равно 1.

Ответ: Произведение этих чисел равно 1, что и требовалось доказать.