Номер 460, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 4. Глава 4. Квадратные корни - номер 460, страница 179.

Условие.

460. Доказать, что если $a>0, b>0$, то $a-\sqrt{ab}+b \ge \sqrt{ab}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Требуется доказать, что если $a > 0$ и $b > 0$, то выполняется неравенство:

$a - \sqrt{ab} + b \ge \sqrt{ab}$

Для доказательства выполним равносильные преобразования данного неравенства. Перенесем слагаемое $\sqrt{ab}$ из правой части в левую, изменив его знак на противоположный:

$a - \sqrt{ab} - \sqrt{ab} + b \ge 0$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$

Заметим, что левая часть полученного неравенства является полным квадратом разности. Поскольку по условию $a > 0$ и $b > 0$, мы можем представить $a$ как $(\sqrt{a})^2$ и $b$ как $(\sqrt{b})^2$. Тогда неравенство принимает вид:

$(\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 \ge 0$

Используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x = \sqrt{a}$ и $y = \sqrt{b}$, сворачиваем левую часть:

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$

Это неравенство является верным для любых действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю). Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, их квадратные корни $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$ являются действительными числами, следовательно, их разность $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$ также является действительным числом.

Так как мы получили верное неравенство путем равносильных преобразований исходного, то и исходное неравенство является верным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.