Номер 463, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 4. Глава 4. Квадратные корни - номер 463, страница 179.

Условие.

463. Решить графически уравнение:

1) $\sqrt{x} = x;$

2) $\sqrt{x} = -x + 1;$

3) $\sqrt{x} = x - 2;$

4) $\sqrt{x} = 3x - 4;$

5) $\sqrt{x} = \frac{1}{x};$

6) $\sqrt{x} = \frac{2}{x}.$

Решение 1.

Решение 4.

1) $\sqrt{x}=x$

Для графического решения уравнения построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \sqrt{x}$ и $y = x$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, симметричная относительно оси Ox параболе $y=x^2$ при $x \ge 0$. Она начинается в точке (0, 0) и проходит через точки (1, 1), (4, 2).

График функции $y = x$ — это прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она проходит через точки (0, 0), (1, 1), (2, 2).

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в двух точках. Абсциссы этих точек и являются решениями уравнения. Из графика очевидно, что точки пересечения — это (0, 0) и (1, 1).

Следовательно, абсциссы точек пересечения равны 0 и 1.

Проверка:

При $x=0$: $\sqrt{0} = 0$, что верно.

При $x=1$: $\sqrt{1} = 1$, что верно.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1$.

2) $\sqrt{x}=-x+1$

Для графического решения уравнения построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = -x+1$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, проходящая через точки (0, 0), (1, 1), (4, 2).

График функции $y = -x+1$ — это прямая. Для ее построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=1$; если $x=1$, то $y=0$. Прямая проходит через точки (0, 1) и (1, 0).

Построив графики, видим, что они пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки находится в интервале $(0, 1)$. Поскольку точное значение из графика определить затруднительно, найдем его алгебраически. Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что правая часть должна быть неотрицательной: $-x+1 \ge 0$, то есть $x \le 1$.

$x = (-x+1)^2 \implies x = x^2 - 2x + 1 \implies x^2 - 3x + 1 = 0$.

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Получаем два потенциальных корня: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx 2.62$ и $x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx 0.38$.

Условию $x \le 1$ удовлетворяет только корень $x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$. Это и есть абсцисса точки пересечения графиков.

Ответ: $x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.

3) $\sqrt{x}=x-2$

Построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x-2$.

График $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, проходящая через (0, 0), (1, 1), (4, 2).

График $y = x-2$ — прямая, проходящая через точки (0, -2) и (2, 0).

Нанеся графики на координатную плоскость, можно увидеть, что они пересекаются в одной точке. Координаты этой точки — (4, 2).

Абсцисса точки пересечения равна 4. Это и есть решение уравнения.

Проверка: $\sqrt{4} = 4 - 2$, то есть $2 = 2$. Равенство верное.

Ответ: $x = 4$.

4) $\sqrt{x}=3x-4$

Построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 3x-4$.

График $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, проходящая через (0, 0), (1, 1), (4, 2).

График $y = 3x-4$ — прямая. Для построения найдем две точки: при $x=1$, $y=3(1)-4=-1$; при $x=2$, $y=3(2)-4=2$. Прямая проходит через (1, -1) и (2, 2).

Из графиков видно, что они пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки лежит между 1 и 2. Для нахождения точного значения решим уравнение алгебраически. Условие: $3x-4 \ge 0$, то есть $x \ge \frac{4}{3}$.

$x = (3x-4)^2 \implies x = 9x^2 - 24x + 16 \implies 9x^2 - 25x + 16 = 0$.

Дискриминант $D = (-25)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 16 = 625 - 576 = 49 = 7^2$.

Корни: $x_1 = \frac{25-7}{18} = \frac{18}{18} = 1$ и $x_2 = \frac{25+7}{18} = \frac{32}{18} = \frac{16}{9}$.

Проверим корни по условию $x \ge \frac{4}{3} \approx 1.33$.

Корень $x_1=1$ не удовлетворяет условию ($1 < 4/3$).

Корень $x_2 = \frac{16}{9} \approx 1.78$ удовлетворяет условию ($16/9 > 12/9$).

Таким образом, графики пересекаются в точке с абсциссой $x = \frac{16}{9}$.

Ответ: $x = \frac{16}{9}$.

5) $\sqrt{x}=\frac{1}{x}$

Для решения уравнения построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{1}{x}$.

Уравнение имеет смысл только при $x>0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным, и знаменатель не может быть равен нулю. Поэтому мы рассматриваем графики только в первой координатной четверти.

График $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, проходящая через (0, 0), (1, 1), (4, 2).

График $y = \frac{1}{x}$ (для $x>0$) — ветвь гиперболы, проходящая через точки (1, 1), (2, 0.5), (0.5, 2).

Построив графики, мы видим, что они пересекаются в одной точке, координаты которой (1, 1).

Абсцисса точки пересечения $x=1$ является решением уравнения.

Проверка: $\sqrt{1} = \frac{1}{1}$, то есть $1=1$. Равенство верное.

Ответ: $x = 1$.

6) $\sqrt{x}=\frac{2}{x}$

Построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{2}{x}$.

Область определения уравнения: $x > 0$.

График $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, проходящая через (0, 0), (1, 1), (4, 2).

График $y = \frac{2}{x}$ (для $x>0$) — ветвь гиперболы, проходящая через точки (1, 2), (2, 1), (4, 0.5).

Сравнивая значения функций в некоторых точках, видим: при $x=1$, $\sqrt{x}=1$, а $\frac{2}{x}=2$; при $x=4$, $\sqrt{x}=2$, а $\frac{2}{x}=0.5$. Так как на промежутке $x>0$ функция $y = \sqrt{x}$ возрастает, а функция $y = \frac{2}{x}$ убывает, и в точке $x=1$ график $\sqrt{x}$ ниже, а в точке $x=4$ — выше, то графики должны пересечься в одной точке с абсциссой в интервале $(1, 4)$.

Для нахождения точного значения решим уравнение алгебраически:

$\sqrt{x} = \frac{2}{x} \implies x\sqrt{x} = 2 \implies x^{3/2} = 2$.

Возведем обе части в степень $2/3$: $(x^{3/2})^{2/3} = 2^{2/3}$.

$x = 2^{2/3} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$.

Значение $\sqrt[3]{4} \approx 1.587$, что согласуется с графическим анализом (корень находится в интервале $(1, 4)$).

Ответ: $x = \sqrt[3]{4}$.