Номер 459, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 4. Глава 4. Квадратные корни - номер 459, страница 179.

Условие.

459. Исключить иррациональность из знаменателя:

1) $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}};

2) $\frac{2}{\sqrt{11}-\sqrt{3}};

3) $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}};

4) $\frac{5-4\sqrt{3}}{5\sqrt{3}-9}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы исключить иррациональность из знаменателя дроби $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$, необходимо умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ является выражение $\sqrt{3}+\sqrt{2}$. При умножении этих выражений используется формула разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{1} = \sqrt{3}+\sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{3}+\sqrt{2}$.

2) Для дроби $\frac{2}{\sqrt{11}-\sqrt{3}}$ сопряженным выражением к знаменателю является $\sqrt{11}+\sqrt{3}$. Умножим на него числитель и знаменатель:

$\frac{2}{\sqrt{11}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{11}+\sqrt{3})}{(\sqrt{11}-\sqrt{3})(\sqrt{11}+\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{11}+\sqrt{3})}{(\sqrt{11})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2(\sqrt{11}+\sqrt{3})}{11-3} = \frac{2(\sqrt{11}+\sqrt{3})}{8}$.

Сократим полученную дробь на 2:

$\frac{2(\sqrt{11}+\sqrt{3})}{8} = \frac{\sqrt{11}+\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{11}+\sqrt{3}}{4}$.

3) Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$ на сопряженное к знаменателю выражение $\sqrt{7}+\sqrt{5}$.

$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5})^2}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2}$.

В числителе используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(\sqrt{7}+\sqrt{5})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2\sqrt{7}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 7 + 2\sqrt{35} + 5 = 12+2\sqrt{35}$.

Знаменатель равен $7-5=2$.

Подставим полученные значения в дробь и упростим:

$\frac{12+2\sqrt{35}}{2} = \frac{2(6+\sqrt{35})}{2} = 6+\sqrt{35}$.

Ответ: $6+\sqrt{35}$.

4) Для дроби $\frac{5-4\sqrt{3}}{5\sqrt{3}-9}$ сопряженным к знаменателю $5\sqrt{3}-9$ является выражение $5\sqrt{3}+9$. Умножим на него числитель и знаменатель.

Знаменатель: $(5\sqrt{3}-9)(5\sqrt{3}+9) = (5\sqrt{3})^2 - 9^2 = 25 \cdot 3 - 81 = 75 - 81 = -6$.

Числитель: $(5-4\sqrt{3})(5\sqrt{3}+9) = 5 \cdot 5\sqrt{3} + 5 \cdot 9 - 4\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3} - 4\sqrt{3} \cdot 9 = 25\sqrt{3} + 45 - 20 \cdot 3 - 36\sqrt{3} = 25\sqrt{3} + 45 - 60 - 36\sqrt{3} = (45-60) + (25\sqrt{3}-36\sqrt{3}) = -15 - 11\sqrt{3}$.

Полученная дробь: $\frac{-15-11\sqrt{3}}{-6}$.

Чтобы избавиться от знака минуса в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на -1:

$\frac{-1(-15-11\sqrt{3})}{-1(-6)} = \frac{15+11\sqrt{3}}{6}$.

Ответ: $\frac{15+11\sqrt{3}}{6}$.