Номер 452, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 4. Глава 4. Квадратные корни - номер 452, страница 178.

Условие.

452. Решить уравнение:

1) $\sqrt{x-1}=4;$

2) $\sqrt{x+9}=5;$

3) $\sqrt{2(x-1)}=2;$

4) $\sqrt{2x-7}=1.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{x-1} = 4$.
Для его решения сначала определим Область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x - 1 \ge 0$
$x \ge 1$
Теперь, чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x-1})^2 = 4^2$
$x - 1 = 16$
Решим полученное линейное уравнение, перенеся -1 в правую часть:
$x = 16 + 1$
$x = 17$
Проверим, соответствует ли найденный корень ОДЗ. Так как $17 \ge 1$, корень является решением.
Для уверенности выполним проверку, подставив $x=17$ в исходное уравнение:
$\sqrt{17-1} = \sqrt{16} = 4$.
$4 = 4$. Равенство верно.
Ответ: 17

2) Дано уравнение $\sqrt{x+9} = 5$.
Определим ОДЗ:
$x + 9 \ge 0$
$x \ge -9$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+9})^2 = 5^2$
$x + 9 = 25$
Найдем $x$:
$x = 25 - 9$
$x = 16$
Корень $x=16$ удовлетворяет условию $x \ge -9$.
Проверка:
$\sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.
$5 = 5$. Равенство верно.
Ответ: 16

3) Дано уравнение $\sqrt{2(x-1)} = 2$.
Определим ОДЗ:
$2(x-1) \ge 0$
$x-1 \ge 0$
$x \ge 1$
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{2(x-1)})^2 = 2^2$
$2(x-1) = 4$
Разделим обе части на 2:
$x-1 = 2$
Найдем $x$:
$x = 2 + 1$
$x = 3$
Корень $x=3$ удовлетворяет условию $x \ge 1$.
Проверка:
$\sqrt{2(3-1)} = \sqrt{2 \cdot 2} = \sqrt{4} = 2$.
$2 = 2$. Равенство верно.
Ответ: 3

4) Дано уравнение $\sqrt{2x-7} = 1$.
Определим ОДЗ:
$2x - 7 \ge 0$
$2x \ge 7$
$x \ge 3.5$
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{2x-7})^2 = 1^2$
$2x - 7 = 1$
Решим уравнение:
$2x = 1 + 7$
$2x = 8$
$x = 4$
Корень $x=4$ удовлетворяет условию $x \ge 3.5$.
Проверка:
$\sqrt{2 \cdot 4 - 7} = \sqrt{8-7} = \sqrt{1} = 1$.
$1 = 1$. Равенство верно.
Ответ: 4