Номер 449, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 4. Глава 4. Квадратные корни - номер 449, страница 177.

Условие.

449. 1) $\sqrt{2^6}$;

2) $\sqrt{3^6}$;

3) $\sqrt{5^4}$;

4) $\sqrt{6^6}$;

5) $\sqrt{(-3)^6}$;

6) $\sqrt{(-7)^4}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt{2^8}$ воспользуемся свойством квадратного корня $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ для $a \ge 0$. В данном случае $a=2$ и $2n=8$, следовательно $n=4$.
$\sqrt{2^8} = 2^{8/2} = 2^4 = 16$.
Также можно представить подкоренное выражение как квадрат другого выражения и воспользоваться свойством $\sqrt{x^2} = |x|$:
$\sqrt{2^8} = \sqrt{(2^4)^2} = |2^4| = 2^4 = 16$.
Ответ: 16.

2) Вычислим $\sqrt{3^6}$. Применяем то же свойство $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ для $a \ge 0$.
Здесь $a=3$ и $2n=6$, что означает $n=3$.
$\sqrt{3^6} = 3^{6/2} = 3^3 = 27$.
Или через представление в виде квадрата:
$\sqrt{3^6} = \sqrt{(3^3)^2} = |3^3| = 3^3 = 27$.
Ответ: 27.

3) Вычислим $\sqrt{5^4}$. Аналогично предыдущим примерам:
$\sqrt{5^4} = 5^{4/2} = 5^2 = 25$.
Или:
$\sqrt{5^4} = \sqrt{(5^2)^2} = |5^2| = 5^2 = 25$.
Ответ: 25.

4) Вычислим $\sqrt{6^6}$. Снова используем свойство $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ для $a \ge 0$.
$\sqrt{6^6} = 6^{6/2} = 6^3 = 216$.
Или:
$\sqrt{6^6} = \sqrt{(6^3)^2} = |6^3| = 6^3 = 216$.
Ответ: 216.

5) Вычислим $\sqrt{(-3)^6}$. В этом случае основание степени — отрицательное число. Однако показатель степени 6 является четным числом, поэтому результат возведения в степень будет положительным: $(-3)^6 = 3^6$.
$\sqrt{(-3)^6} = \sqrt{3^6}$.
Далее решаем так же, как и в пункте 2:
$\sqrt{3^6} = 3^3 = 27$.
Альтернативный способ — использовать свойство $\sqrt{x^2} = |x|$:
$\sqrt{(-3)^6} = \sqrt{((-3)^3)^2} = |(-3)^3| = |-27| = 27$.
Ответ: 27.

6) Вычислим $\sqrt{(-7)^4}$. Основание степени отрицательное, но показатель степени 4 — четное число. Следовательно, $(-7)^4 = 7^4$.
$\sqrt{(-7)^4} = \sqrt{7^4}$.
Теперь извлекаем корень:
$\sqrt{7^4} = 7^{4/2} = 7^2 = 49$.
Используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$:
$\sqrt{(-7)^4} = \sqrt{((-7)^2)^2} = |(-7)^2| = |49| = 49$.
Ответ: 49.